Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107938 / 41578
↖ ↑ ↗
← N 54.810183°
E116.460571°		 ← 175.98 m → N 54.810183°
E116.463318°		 →
↑
176.03 m
↓
↑
176.03 m
↓
N 54.808600°
E116.460571°		 ← 175.98 m →
30 978 m²		 N 54.808600°
E116.463318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823505401611328 y=0.317218780517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823505401611328 × 217)
    floor (0.823505401611328 × 131072)
    floor (107938.5)     		tx = 107938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317218780517578 × 217)
    floor (0.317218780517578 × 131072)
    floor (41578.5)     		ty = 41578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107938 / 41578 ti = "17/107938/41578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107938/41578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107938 ÷ 217
    107938 ÷ 131072     		x = 0.823501586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41578 ÷ 217
    41578 ÷ 131072     		y = 0.317214965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823501586914062 × 2 - 1) × π
    0.647003173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03262042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317214965820312 × 2 - 1) × π
    0.365570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14847224109731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03262042} λ = 2.03262042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14847224109731))-π/2
    2×atan(3.15337163616509)-π/2
    2×1.26370724101773-π/2
    2.52741448203546-1.57079632675     		φ = 0.95661816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03262042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.460571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95661816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.810183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107938 KachelY 41578 2.03262042 0.95661816 116.460571 54.810183
    Oben rechts KachelX + 1 107939 KachelY 41578 2.03266835 0.95661816 116.463318 54.810183
    Unten links KachelX 107938 KachelY + 1 41579 2.03262042 0.95659053 116.460571 54.808600
    Unten rechts KachelX + 1 107939 KachelY + 1 41579 2.03266835 0.95659053 116.463318 54.808600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95661816-0.95659053) × R
    2.76299999999452e-05 × 6371000     		dl = 176.030729999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95661816-0.95659053) × R
    2.76299999999452e-05 × 6371000     		dr = 176.030729999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03262042-2.03266835) × cos(0.95661816) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.576287075979535 × 6371000     		do = 175.976191382352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03262042-2.03266835) × cos(0.95659053) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.576309656303416 × 6371000     		du = 175.98308655589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95661816)-sin(0.95659053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576287075979535-0.576309656303416)×R²
    abs(2.03266835-2.03262042)×2.25803238810274e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.25803238810274e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.25803238810274e-05×40589641000000     		ar = 30977.8243147466m²