Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107938 / 41572
↖ ↑ ↗
← N 54.819679°
E116.460571°		 ← 175.93 m → N 54.819679°
E116.463318°		 →
↑
175.97 m
↓
↑
175.97 m
↓
N 54.818096°
E116.460571°		 ← 175.94 m →
30 959 m²		 N 54.818096°
E116.463318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823505401611328 y=0.317173004150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823505401611328 × 217)
    floor (0.823505401611328 × 131072)
    floor (107938.5)     		tx = 107938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317173004150391 × 217)
    floor (0.317173004150391 × 131072)
    floor (41572.5)     		ty = 41572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107938 / 41572 ti = "17/107938/41572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107938/41572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107938 ÷ 217
    107938 ÷ 131072     		x = 0.823501586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41572 ÷ 217
    41572 ÷ 131072     		y = 0.317169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823501586914062 × 2 - 1) × π
    0.647003173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03262042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317169189453125 × 2 - 1) × π
    0.36566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14875986249503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03262042} λ = 2.03262042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14875986249503))-π/2
    2×atan(3.15427874376814)-π/2
    2×1.26379010752546-π/2
    2.52758021505092-1.57079632675     		φ = 0.95678389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03262042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.460571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95678389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.819679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107938 KachelY 41572 2.03262042 0.95678389 116.460571 54.819679
    Oben rechts KachelX + 1 107939 KachelY 41572 2.03266835 0.95678389 116.463318 54.819679
    Unten links KachelX 107938 KachelY + 1 41573 2.03262042 0.95675627 116.460571 54.818096
    Unten rechts KachelX + 1 107939 KachelY + 1 41573 2.03266835 0.95675627 116.463318 54.818096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95678389-0.95675627) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dl = 175.967020000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95678389-0.95675627) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dr = 175.967020000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03262042-2.03266835) × cos(0.95678389) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.576151625665101 × 6371000     		do = 175.934829999373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03262042-2.03266835) × cos(0.95675627) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.576174200454342 × 6371000     		du = 175.941723482842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95678389)-sin(0.95675627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576151625665101-0.576174200454342)×R²
    abs(2.03266835-2.03262042)×2.25747892409478e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.25747892409478e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.25747892409478e-05×40589641000000     		ar = 30959.3342641934m²