Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107937 / 41577
↖ ↑ ↗
← N 54.811766°
E116.457825°		 ← 176.01 m → N 54.811766°
E116.460571°		 →
↑
175.97 m
↓
↑
175.97 m
↓
N 54.810183°
E116.457825°		 ← 176.01 m →
30 972 m²		 N 54.810183°
E116.460571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823497772216797 y=0.317211151123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823497772216797 × 217)
    floor (0.823497772216797 × 131072)
    floor (107937.5)     		tx = 107937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317211151123047 × 217)
    floor (0.317211151123047 × 131072)
    floor (41577.5)     		ty = 41577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107937 / 41577 ti = "17/107937/41577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107937/41577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107937 ÷ 217
    107937 ÷ 131072     		x = 0.823493957519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41577 ÷ 217
    41577 ÷ 131072     		y = 0.317207336425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823493957519531 × 2 - 1) × π
    0.646987915039062 × 3.1415926535     		Λ = 2.03257248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317207336425781 × 2 - 1) × π
    0.365585327148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.14852017799693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03257248} λ = 2.03257248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14852017799693))-π/2
    2×atan(3.15352280264788)-π/2
    2×1.26372105345512-π/2
    2.52744210691024-1.57079632675     		φ = 0.95664578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03257248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.457825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95664578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.811766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107937 KachelY 41577 2.03257248 0.95664578 116.457825 54.811766
    Oben rechts KachelX + 1 107938 KachelY 41577 2.03262042 0.95664578 116.460571 54.811766
    Unten links KachelX 107937 KachelY + 1 41578 2.03257248 0.95661816 116.457825 54.810183
    Unten rechts KachelX + 1 107938 KachelY + 1 41578 2.03262042 0.95661816 116.460571 54.810183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95664578-0.95661816) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dl = 175.967020000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95664578-0.95661816) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dr = 175.967020000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03257248-2.03262042) × cos(0.95664578) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.576264503388339 × 6371000     		do = 176.006012384631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03257248-2.03262042) × cos(0.95661816) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.576287075979535 × 6371000     		du = 176.012906635001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95664578)-sin(0.95661816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576264503388339-0.576287075979535)×R²
    abs(2.03262042-2.03257248)×2.25725911956465e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.25725911956465e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.25725911956465e-05×40589641000000     		ar = 30971.8600838742m²