Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107936 / 43042
↖ ↑ ↗
← N 52.425873°
E116.455078°		 ← 186.24 m → N 52.425873°
E116.457825°		 →
↑
186.22 m
↓
↑
186.22 m
↓
N 52.424198°
E116.455078°		 ← 186.25 m →
34 684 m²		 N 52.424198°
E116.457825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823490142822266 y=0.328388214111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823490142822266 × 217)
    floor (0.823490142822266 × 131072)
    floor (107936.5)     		tx = 107936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328388214111328 × 217)
    floor (0.328388214111328 × 131072)
    floor (43042.5)     		ty = 43042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107936 / 43042 ti = "17/107936/43042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107936/43042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107936 ÷ 217
    107936 ÷ 131072     		x = 0.823486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43042 ÷ 217
    43042 ÷ 131072     		y = 0.328384399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823486328125 × 2 - 1) × π
    0.64697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03252454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328384399414062 × 2 - 1) × π
    0.343231201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07829262005354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03252454} λ = 2.03252454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07829262005354))-π/2
    2×atan(2.93965615389542)-π/2
    2×1.24290020968965-π/2
    2.48580041937931-1.57079632675     		φ = 0.91500409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03252454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.455078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91500409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.425873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107936 KachelY 43042 2.03252454 0.91500409 116.455078 52.425873
    Oben rechts KachelX + 1 107937 KachelY 43042 2.03257248 0.91500409 116.457825 52.425873
    Unten links KachelX 107936 KachelY + 1 43043 2.03252454 0.91497486 116.455078 52.424198
    Unten rechts KachelX + 1 107937 KachelY + 1 43043 2.03257248 0.91497486 116.457825 52.424198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91500409-0.91497486) × R
    2.92300000001022e-05 × 6371000     		dl = 186.224330000651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91500409-0.91497486) × R
    2.92300000001022e-05 × 6371000     		dr = 186.224330000651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03252454-2.03257248) × cos(0.91500409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60978733384637 × 6371000     		do = 186.244747682532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03252454-2.03257248) × cos(0.91497486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609810500263182 × 6371000     		du = 186.251823302531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91500409)-sin(0.91497486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60978733384637-0.609810500263182)×R²
    abs(2.03257248-2.03252454)×2.31664168127699e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31664168127699e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31664168127699e-05×40589641000000     		ar = 34683.9621819417m²