Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107936 / 41571
↖ ↑ ↗
← N 54.821261°
E116.455078°		 ← 175.96 m → N 54.821261°
E116.457825°		 →
↑
175.97 m
↓
↑
175.97 m
↓
N 54.819679°
E116.455078°		 ← 175.97 m →
30 965 m²		 N 54.819679°
E116.457825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823490142822266 y=0.317165374755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823490142822266 × 217)
    floor (0.823490142822266 × 131072)
    floor (107936.5)     		tx = 107936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317165374755859 × 217)
    floor (0.317165374755859 × 131072)
    floor (41571.5)     		ty = 41571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107936 / 41571 ti = "17/107936/41571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107936/41571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107936 ÷ 217
    107936 ÷ 131072     		x = 0.823486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41571 ÷ 217
    41571 ÷ 131072     		y = 0.317161560058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823486328125 × 2 - 1) × π
    0.64697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03252454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317161560058594 × 2 - 1) × π
    0.365676879882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.14880779939465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03252454} λ = 2.03252454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14880779939465))-π/2
    2×atan(3.1544299537359)-π/2
    2×1.26380391671629-π/2
    2.52760783343257-1.57079632675     		φ = 0.95681151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03252454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.455078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95681151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.821261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107936 KachelY 41571 2.03252454 0.95681151 116.455078 54.821261
    Oben rechts KachelX + 1 107937 KachelY 41571 2.03257248 0.95681151 116.457825 54.821261
    Unten links KachelX 107936 KachelY + 1 41572 2.03252454 0.95678389 116.455078 54.819679
    Unten rechts KachelX + 1 107937 KachelY + 1 41572 2.03257248 0.95678389 116.457825 54.819679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95681151-0.95678389) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dl = 175.967020000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95681151-0.95678389) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dr = 175.967020000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03252454-2.03257248) × cos(0.95681151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576129050436335 × 6371000     		do = 175.964641564899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03252454-2.03257248) × cos(0.95678389) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.576151625665101 × 6371000     		du = 175.971536620851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95681151)-sin(0.95678389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576129050436335-0.576151625665101)×R²
    abs(2.03257248-2.03252454)×2.25752287666969e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25752287666969e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25752287666969e-05×40589641000000     		ar = 30964.5802545976m²