Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107936 / 100231
↖ ↑ ↗
← S 68.535271°
E116.455078°		 ← 111.76 m → S 68.535271°
E116.457825°		 →
↑
111.75 m
↓
↑
111.75 m
↓
S 68.536276°
E116.455078°		 ← 111.76 m →
12 489 m²		 S 68.536276°
E116.457825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823490142822266 y=0.764705657958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823490142822266 × 217)
    floor (0.823490142822266 × 131072)
    floor (107936.5)     		tx = 107936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764705657958984 × 217)
    floor (0.764705657958984 × 131072)
    floor (100231.5)     		ty = 100231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107936 / 100231 ti = "17/107936/100231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107936/100231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107936 ÷ 217
    107936 ÷ 131072     		x = 0.823486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100231 ÷ 217
    100231 ÷ 131072     		y = 0.764701843261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823486328125 × 2 - 1) × π
    0.64697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03252454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764701843261719 × 2 - 1) × π
    -0.529403686523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.66317073231785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03252454} λ = 2.03252454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66317073231785))-π/2
    2×atan(0.189537055068298)-π/2
    2×0.187315093694506-π/2
    0.374630187389013-1.57079632675     		φ = -1.19616614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03252454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.455078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19616614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.535271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107936 KachelY 100231 2.03252454 -1.19616614 116.455078 -68.535271
    Oben rechts KachelX + 1 107937 KachelY 100231 2.03257248 -1.19616614 116.457825 -68.535271
    Unten links KachelX 107936 KachelY + 1 100232 2.03252454 -1.19618368 116.455078 -68.536276
    Unten rechts KachelX + 1 107937 KachelY + 1 100232 2.03257248 -1.19618368 116.457825 -68.536276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19616614--1.19618368) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dl = 111.747339999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19616614--1.19618368) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dr = 111.747339999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03252454-2.03257248) × cos(-1.19616614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365928390041812 × 6371000     		do = 111.763949315456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03252454-2.03257248) × cos(-1.19618368) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365912066507116 × 6371000     		du = 111.758963687792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19616614)-sin(-1.19618368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365928390041812-0.365912066507116)×R²
    abs(2.03257248-2.03252454)×1.63235346959945e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63235346959945e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63235346959945e-05×40589641000000     		ar = 12489.0454790265m²