Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107933 / 43043
↖ ↑ ↗
← N 52.424198°
E116.446838°		 ← 186.25 m → N 52.424198°
E116.449585°		 →
↑
186.22 m
↓
↑
186.22 m
↓
N 52.422523°
E116.446838°		 ← 186.26 m →
34 685 m²		 N 52.422523°
E116.449585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823467254638672 y=0.328395843505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823467254638672 × 217)
    floor (0.823467254638672 × 131072)
    floor (107933.5)     		tx = 107933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328395843505859 × 217)
    floor (0.328395843505859 × 131072)
    floor (43043.5)     		ty = 43043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107933 / 43043 ti = "17/107933/43043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107933/43043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107933 ÷ 217
    107933 ÷ 131072     		x = 0.823463439941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43043 ÷ 217
    43043 ÷ 131072     		y = 0.328392028808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823463439941406 × 2 - 1) × π
    0.646926879882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.03238073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328392028808594 × 2 - 1) × π
    0.343215942382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.07824468315392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03238073} λ = 2.03238073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07824468315392))-π/2
    2×atan(2.93951523927098)-π/2
    2×1.24288559375495-π/2
    2.4857711875099-1.57079632675     		φ = 0.91497486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03238073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.446838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91497486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.424198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107933 KachelY 43043 2.03238073 0.91497486 116.446838 52.424198
    Oben rechts KachelX + 1 107934 KachelY 43043 2.03242867 0.91497486 116.449585 52.424198
    Unten links KachelX 107933 KachelY + 1 43044 2.03238073 0.91494563 116.446838 52.422523
    Unten rechts KachelX + 1 107934 KachelY + 1 43044 2.03242867 0.91494563 116.449585 52.422523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91497486-0.91494563) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dl = 186.224329999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91497486-0.91494563) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dr = 186.224329999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03238073-2.03242867) × cos(0.91497486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609810500263182 × 6371000     		do = 186.251823302531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03238073-2.03242867) × cos(0.91494563) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609833666158977 × 6371000     		du = 186.258898763396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91497486)-sin(0.91494563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609810500263182-0.609833666158977)×R²
    abs(2.03242867-2.03238073)×2.31658957949854e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31658957949854e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31658957949854e-05×40589641000000     		ar = 34685.2798197848m²