Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107926 / 42182
↖ ↑ ↗
← N 53.842805°
E116.427612°		 ← 180.20 m → N 53.842805°
E116.430359°		 →
↑
180.17 m
↓
↑
180.17 m
↓
N 53.841184°
E116.427612°		 ← 180.21 m →
32 468 m²		 N 53.841184°
E116.430359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823413848876953 y=0.321826934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823413848876953 × 217)
    floor (0.823413848876953 × 131072)
    floor (107926.5)     		tx = 107926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321826934814453 × 217)
    floor (0.321826934814453 × 131072)
    floor (42182.5)     		ty = 42182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107926 / 42182 ti = "17/107926/42182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107926/42182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107926 ÷ 217
    107926 ÷ 131072     		x = 0.823410034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42182 ÷ 217
    42182 ÷ 131072     		y = 0.321823120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823410034179688 × 2 - 1) × π
    0.646820068359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03204517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321823120117188 × 2 - 1) × π
    0.356353759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11951835372679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03204517} λ = 2.03204517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11951835372679))-π/2
    2×atan(3.06337838312823)-π/2
    2×1.2552652743962-π/2
    2.5105305487924-1.57079632675     		φ = 0.93973422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03204517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.427612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93973422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.842805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107926 KachelY 42182 2.03204517 0.93973422 116.427612 53.842805
    Oben rechts KachelX + 1 107927 KachelY 42182 2.03209311 0.93973422 116.430359 53.842805
    Unten links KachelX 107926 KachelY + 1 42183 2.03204517 0.93970594 116.427612 53.841184
    Unten rechts KachelX + 1 107927 KachelY + 1 42183 2.03209311 0.93970594 116.430359 53.841184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93973422-0.93970594) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dl = 180.171879999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93973422-0.93970594) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dr = 180.171879999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03204517-2.03209311) × cos(0.93973422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590002636989477 × 6371000     		do = 180.201992004344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03204517-2.03209311) × cos(0.93970594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590025470062817 × 6371000     		du = 180.208965812666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93973422)-sin(0.93970594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590002636989477-0.590025470062817)×R²
    abs(2.03209311-2.03204517)×2.28330733408333e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28330733408333e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28330733408333e-05×40589641000000     		ar = 32467.9599234263m²