Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107923 / 42185
↖ ↑ ↗
← N 53.837943°
E116.419372°		 ← 180.22 m → N 53.837943°
E116.422119°		 →
↑
180.24 m
↓
↑
180.24 m
↓
N 53.836322°
E116.419372°		 ← 180.23 m →
32 483 m²		 N 53.836322°
E116.422119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823390960693359 y=0.321849822998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823390960693359 × 217)
    floor (0.823390960693359 × 131072)
    floor (107923.5)     		tx = 107923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321849822998047 × 217)
    floor (0.321849822998047 × 131072)
    floor (42185.5)     		ty = 42185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107923 / 42185 ti = "17/107923/42185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107923/42185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107923 ÷ 217
    107923 ÷ 131072     		x = 0.823387145996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42185 ÷ 217
    42185 ÷ 131072     		y = 0.321846008300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823387145996094 × 2 - 1) × π
    0.646774291992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.03190136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321846008300781 × 2 - 1) × π
    0.356307983398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.11937454302793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03190136} λ = 2.03190136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11937454302793))-π/2
    2×atan(3.06293786821822)-π/2
    2×1.25522284758748-π/2
    2.51044569517497-1.57079632675     		φ = 0.93964937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03190136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.419372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93964937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.837943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107923 KachelY 42185 2.03190136 0.93964937 116.419372 53.837943
    Oben rechts KachelX + 1 107924 KachelY 42185 2.03194930 0.93964937 116.422119 53.837943
    Unten links KachelX 107923 KachelY + 1 42186 2.03190136 0.93962108 116.419372 53.836322
    Unten rechts KachelX + 1 107924 KachelY + 1 42186 2.03194930 0.93962108 116.422119 53.836322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93964937-0.93962108) × R
    2.82900000000419e-05 × 6371000     		dl = 180.235590000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93964937-0.93962108) × R
    2.82900000000419e-05 × 6371000     		dr = 180.235590000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03190136-2.03194930) × cos(0.93964937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59007114286736 × 6371000     		do = 180.222915462791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03190136-2.03194930) × cos(0.93962108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590093982598191 × 6371000     		du = 180.229891304481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93964937)-sin(0.93962108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59007114286736-0.590093982598191)×R²
    abs(2.03194930-2.03190136)×2.28397308313921e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28397308313921e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28397308313921e-05×40589641000000     		ar = 32483.2121494807m²