Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107922 / 42163
↖ ↑ ↗
← N 53.873583°
E116.416626°		 ← 180.03 m → N 53.873583°
E116.419372°		 →
↑
180.04 m
↓
↑
180.04 m
↓
N 53.871964°
E116.416626°		 ← 180.04 m →
32 414 m²		 N 53.871964°
E116.419372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823383331298828 y=0.321681976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823383331298828 × 217)
    floor (0.823383331298828 × 131072)
    floor (107922.5)     		tx = 107922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321681976318359 × 217)
    floor (0.321681976318359 × 131072)
    floor (42163.5)     		ty = 42163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107922 / 42163 ti = "17/107922/42163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107922/42163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107922 ÷ 217
    107922 ÷ 131072     		x = 0.823379516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42163 ÷ 217
    42163 ÷ 131072     		y = 0.321678161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823379516601562 × 2 - 1) × π
    0.646759033203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03185343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321678161621094 × 2 - 1) × π
    0.356643676757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.12042915481957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03185343} λ = 2.03185343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12042915481957))-π/2
    2×atan(3.06616978251902)-π/2
    2×1.25553386313603-π/2
    2.51106772627206-1.57079632675     		φ = 0.94027140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03185343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.416626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94027140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.873583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107922 KachelY 42163 2.03185343 0.94027140 116.416626 53.873583
    Oben rechts KachelX + 1 107923 KachelY 42163 2.03190136 0.94027140 116.419372 53.873583
    Unten links KachelX 107922 KachelY + 1 42164 2.03185343 0.94024314 116.416626 53.871964
    Unten rechts KachelX + 1 107923 KachelY + 1 42164 2.03190136 0.94024314 116.419372 53.871964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94027140-0.94024314) × R
    2.82600000000022e-05 × 6371000     		dl = 180.044460000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94027140-0.94024314) × R
    2.82600000000022e-05 × 6371000     		dr = 180.044460000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03185343-2.03190136) × cos(0.94027140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.589568832044048 × 6371000     		do = 180.03193537781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03185343-2.03190136) × cos(0.94024314) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.589591657923234 × 6371000     		du = 180.038905534614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94027140)-sin(0.94024314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589568832044048-0.589591657923234)×R²
    abs(2.03190136-2.03185343)×2.28258791858948e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28258791858948e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28258791858948e-05×40589641000000     		ar = 32414.3800591611m²