Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10792 / 4584
↖ ↑ ↗
← N 82.326516°
W120.717773°		 ← 81.56 m → N 82.326516°
W120.712280°		 →
↑
81.55 m
↓
↑
81.55 m
↓
N 82.325783°
W120.717773°		 ← 81.56 m →
6 651 m²		 N 82.325783°
W120.712280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164680480957031 y=0.0699539184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164680480957031 × 216)
    floor (0.164680480957031 × 65536)
    floor (10792.5)     		tx = 10792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0699539184570312 × 216)
    floor (0.0699539184570312 × 65536)
    floor (4584.5)     		ty = 4584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10792 / 4584 ti = "16/10792/4584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10792/4584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10792 ÷ 216
    10792 ÷ 65536     		x = 0.1646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4584 ÷ 216
    4584 ÷ 65536     		y = 0.0699462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10692261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0699462890625 × 2 - 1) × π
    0.860107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.70210715778333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10692261} λ = -2.10692261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70210715778333))-π/2
    2×atan(14.9111187244574)-π/2
    2×1.50383254925471-π/2
    3.00766509850942-1.57079632675     		φ = 1.43686877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10692261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.717773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43686877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.326516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10792 KachelY 4584 -2.10692261 1.43686877 -120.717773 82.326516
    Oben rechts KachelX + 1 10793 KachelY 4584 -2.10682674 1.43686877 -120.712280 82.326516
    Unten links KachelX 10792 KachelY + 1 4585 -2.10692261 1.43685597 -120.717773 82.325783
    Unten rechts KachelX + 1 10793 KachelY + 1 4585 -2.10682674 1.43685597 -120.712280 82.325783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43686877-1.43685597) × R
    1.2799999999924e-05 × 6371000     		dl = 81.5487999995157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43686877-1.43685597) × R
    1.2799999999924e-05 × 6371000     		dr = 81.5487999995157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10692261--2.10682674) × cos(1.43686877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133527548413007 × 6371000     		do = 81.5569935287461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10692261--2.10682674) × cos(1.43685597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133540233779372 × 6371000     		du = 81.5647415953793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43686877)-sin(1.43685597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133527548413007-0.133540233779372)×R²
    abs(-2.10682674--2.10692261)×1.26853663641457e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.26853663641457e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.26853663641457e-05×40589641000000     		ar = 6651.19087670451m²