Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107919 / 42245
↖ ↑ ↗
← N 53.740590°
E116.408386°		 ← 180.60 m → N 53.740590°
E116.411133°		 →
↑
180.68 m
↓
↑
180.68 m
↓
N 53.738965°
E116.408386°		 ← 180.61 m →
32 632 m²		 N 53.738965°
E116.411133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823360443115234 y=0.322307586669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823360443115234 × 217)
    floor (0.823360443115234 × 131072)
    floor (107919.5)     		tx = 107919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322307586669922 × 217)
    floor (0.322307586669922 × 131072)
    floor (42245.5)     		ty = 42245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107919 / 42245 ti = "17/107919/42245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107919/42245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107919 ÷ 217
    107919 ÷ 131072     		x = 0.823356628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42245 ÷ 217
    42245 ÷ 131072     		y = 0.322303771972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823356628417969 × 2 - 1) × π
    0.646713256835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.03170962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322303771972656 × 2 - 1) × π
    0.355392456054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.11649832905073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03170962} λ = 2.03170962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11649832905073))-π/2
    2×atan(3.05414086061297)-π/2
    2×1.2543732765403-π/2
    2.5087465530806-1.57079632675     		φ = 0.93795023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03170962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.408386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93795023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.740590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107919 KachelY 42245 2.03170962 0.93795023 116.408386 53.740590
    Oben rechts KachelX + 1 107920 KachelY 42245 2.03175755 0.93795023 116.411133 53.740590
    Unten links KachelX 107919 KachelY + 1 42246 2.03170962 0.93792187 116.408386 53.738965
    Unten rechts KachelX + 1 107920 KachelY + 1 42246 2.03175755 0.93792187 116.411133 53.738965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93795023-0.93792187) × R
    2.83599999999495e-05 × 6371000     		dl = 180.681559999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93795023-0.93792187) × R
    2.83599999999495e-05 × 6371000     		dr = 180.681559999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03170962-2.03175755) × cos(0.93795023) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.591442093225836 × 6371000     		do = 180.603958215001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03170962-2.03175755) × cos(0.93792187) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.591464961002377 × 6371000     		du = 180.610941165667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93795023)-sin(0.93792187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591442093225836-0.591464961002377)×R²
    abs(2.03175755-2.03170962)×2.28677765411467e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28677765411467e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28677765411467e-05×40589641000000     		ar = 32632.4357597186m²