Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107919 / 100049
↖ ↑ ↗
← S 68.351608°
E116.408386°		 ← 112.65 m → S 68.351608°
E116.411133°		 →
↑
112.64 m
↓
↑
112.64 m
↓
S 68.352620°
E116.408386°		 ← 112.65 m →
12 689 m²		 S 68.352620°
E116.411133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823360443115234 y=0.763317108154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823360443115234 × 217)
    floor (0.823360443115234 × 131072)
    floor (107919.5)     		tx = 107919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763317108154297 × 217)
    floor (0.763317108154297 × 131072)
    floor (100049.5)     		ty = 100049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107919 / 100049 ti = "17/107919/100049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107919/100049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107919 ÷ 217
    107919 ÷ 131072     		x = 0.823356628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100049 ÷ 217
    100049 ÷ 131072     		y = 0.763313293457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823356628417969 × 2 - 1) × π
    0.646713256835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.03170962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763313293457031 × 2 - 1) × π
    -0.526626586914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.654446216587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03170962} λ = 2.03170962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.654446216587))-π/2
    2×atan(0.191197908623361)-π/2
    2×0.188917862931129-π/2
    0.377835725862258-1.57079632675     		φ = -1.19296060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03170962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.408386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19296060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.351608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107919 KachelY 100049 2.03170962 -1.19296060 116.408386 -68.351608
    Oben rechts KachelX + 1 107920 KachelY 100049 2.03175755 -1.19296060 116.411133 -68.351608
    Unten links KachelX 107919 KachelY + 1 100050 2.03170962 -1.19297828 116.408386 -68.352620
    Unten rechts KachelX + 1 107920 KachelY + 1 100050 2.03175755 -1.19297828 116.411133 -68.352620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19296060--1.19297828) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dl = 112.639280000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19296060--1.19297828) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dr = 112.639280000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03170962-2.03175755) × cos(-1.19296060) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368909718284793 × 6371000     		do = 112.651020462241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03170962-2.03175755) × cos(-1.19297828) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368893285281813 × 6371000     		du = 112.646002447092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19296060)-sin(-1.19297828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368909718284793-0.368893285281813)×R²
    abs(2.03175755-2.03170962)×1.64330029797655e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64330029797655e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64330029797655e-05×40589641000000     		ar = 12688.647223624m²