Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107918 / 100047
↖ ↑ ↗
← S 68.349581°
E116.405640°		 ← 112.68 m → S 68.349581°
E116.408386°		 →
↑
112.70 m
↓
↑
112.70 m
↓
S 68.350595°
E116.405640°		 ← 112.68 m →
12 700 m²		 S 68.350595°
E116.408386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823352813720703 y=0.763301849365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823352813720703 × 217)
    floor (0.823352813720703 × 131072)
    floor (107918.5)     		tx = 107918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763301849365234 × 217)
    floor (0.763301849365234 × 131072)
    floor (100047.5)     		ty = 100047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107918 / 100047 ti = "17/107918/100047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107918/100047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107918 ÷ 217
    107918 ÷ 131072     		x = 0.823348999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100047 ÷ 217
    100047 ÷ 131072     		y = 0.763298034667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823348999023438 × 2 - 1) × π
    0.646697998046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03166168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763298034667969 × 2 - 1) × π
    -0.526596069335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.65435034278776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03166168} λ = 2.03166168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65435034278776))-π/2
    2×atan(0.19121624037202)-π/2
    2×0.188935548107181-π/2
    0.377871096214363-1.57079632675     		φ = -1.19292523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03166168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.405640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19292523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.349581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107918 KachelY 100047 2.03166168 -1.19292523 116.405640 -68.349581
    Oben rechts KachelX + 1 107919 KachelY 100047 2.03170962 -1.19292523 116.408386 -68.349581
    Unten links KachelX 107918 KachelY + 1 100048 2.03166168 -1.19294292 116.405640 -68.350595
    Unten rechts KachelX + 1 107919 KachelY + 1 100048 2.03170962 -1.19294292 116.408386 -68.350595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19292523--1.19294292) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dl = 112.70298999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19292523--1.19294292) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dr = 112.70298999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03166168-2.03170962) × cos(-1.19292523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368942593239325 × 6371000     		do = 112.684564557566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03166168-2.03170962) × cos(-1.19294292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368926151172458 × 6371000     		du = 112.679542727126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19292523)-sin(-1.19294292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368942593239325-0.368926151172458)×R²
    abs(2.03170962-2.03166168)×1.64420668670173e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64420668670173e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64420668670173e-05×40589641000000     		ar = 12699.604365238m²