Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107917 / 42246
↖ ↑ ↗
← N 53.738965°
E116.402893°		 ← 180.65 m → N 53.738965°
E116.405640°		 →
↑
180.62 m
↓
↑
180.62 m
↓
N 53.737340°
E116.402893°		 ← 180.66 m →
32 629 m²		 N 53.737340°
E116.405640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823345184326172 y=0.322315216064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823345184326172 × 217)
    floor (0.823345184326172 × 131072)
    floor (107917.5)     		tx = 107917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322315216064453 × 217)
    floor (0.322315216064453 × 131072)
    floor (42246.5)     		ty = 42246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107917 / 42246 ti = "17/107917/42246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107917/42246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107917 ÷ 217
    107917 ÷ 131072     		x = 0.823341369628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42246 ÷ 217
    42246 ÷ 131072     		y = 0.322311401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823341369628906 × 2 - 1) × π
    0.646682739257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.03161374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322311401367188 × 2 - 1) × π
    0.355377197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11645039215111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03161374} λ = 2.03161374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11645039215111))-π/2
    2×atan(3.05399445807818)-π/2
    2×1.25435910031612-π/2
    2.50871820063224-1.57079632675     		φ = 0.93792187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03161374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.402893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93792187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.738965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107917 KachelY 42246 2.03161374 0.93792187 116.402893 53.738965
    Oben rechts KachelX + 1 107918 KachelY 42246 2.03166168 0.93792187 116.405640 53.738965
    Unten links KachelX 107917 KachelY + 1 42247 2.03161374 0.93789352 116.402893 53.737340
    Unten rechts KachelX + 1 107918 KachelY + 1 42247 2.03166168 0.93789352 116.405640 53.737340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93792187-0.93789352) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dl = 180.617850000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93792187-0.93789352) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dr = 180.617850000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03161374-2.03166168) × cos(0.93792187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591464961002377 × 6371000     		do = 180.648623398104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03161374-2.03166168) × cos(0.93789352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59148782024007 × 6371000     		du = 180.655605197692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93792187)-sin(0.93789352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591464961002377-0.59148782024007)×R²
    abs(2.03166168-2.03161374)×2.28592376928516e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28592376928516e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28592376928516e-05×40589641000000     		ar = 32628.9964847973m²