Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107914 / 42199
↖ ↑ ↗
← N 53.815247°
E116.394653°		 ← 180.32 m → N 53.815247°
E116.397400°		 →
↑
180.30 m
↓
↑
180.30 m
↓
N 53.813626°
E116.394653°		 ← 180.33 m →
32 512 m²		 N 53.813626°
E116.397400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823322296142578 y=0.321956634521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823322296142578 × 217)
    floor (0.823322296142578 × 131072)
    floor (107914.5)     		tx = 107914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321956634521484 × 217)
    floor (0.321956634521484 × 131072)
    floor (42199.5)     		ty = 42199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107914 / 42199 ti = "17/107914/42199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107914/42199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107914 ÷ 217
    107914 ÷ 131072     		x = 0.823318481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42199 ÷ 217
    42199 ÷ 131072     		y = 0.321952819824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823318481445312 × 2 - 1) × π
    0.646636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03146993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321952819824219 × 2 - 1) × π
    0.356094360351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.11870342643325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03146993} λ = 2.03146993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11870342643325))-π/2
    2×atan(3.06088296940185)-π/2
    2×1.25502479067278-π/2
    2.51004958134557-1.57079632675     		φ = 0.93925325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03146993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.394653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93925325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.815247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107914 KachelY 42199 2.03146993 0.93925325 116.394653 53.815247
    Oben rechts KachelX + 1 107915 KachelY 42199 2.03151787 0.93925325 116.397400 53.815247
    Unten links KachelX 107914 KachelY + 1 42200 2.03146993 0.93922495 116.394653 53.813626
    Unten rechts KachelX + 1 107915 KachelY + 1 42200 2.03151787 0.93922495 116.397400 53.813626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93925325-0.93922495) × R
    2.83000000000921e-05 × 6371000     		dl = 180.299300000587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93925325-0.93922495) × R
    2.83000000000921e-05 × 6371000     		dr = 180.299300000587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03146993-2.03151787) × cos(0.93925325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590390904543148 × 6371000     		do = 180.320578909242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03146993-2.03151787) × cos(0.93922495) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590413745730592 × 6371000     		du = 180.32755519582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93925325)-sin(0.93922495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590390904543148-0.590413745730592)×R²
    abs(2.03151787-2.03146993)×2.28411874434453e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28411874434453e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28411874434453e-05×40589641000000     		ar = 32512.3030650887m²