Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107907 / 99978
↖ ↑ ↗
← S 68.279553°
E116.375427°		 ← 113.03 m → S 68.279553°
E116.378174°		 →
↑
113.02 m
↓
↑
113.02 m
↓
S 68.280570°
E116.375427°		 ← 113.03 m →
12 775 m²		 S 68.280570°
E116.378174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823268890380859 y=0.762775421142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823268890380859 × 217)
    floor (0.823268890380859 × 131072)
    floor (107907.5)     		tx = 107907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762775421142578 × 217)
    floor (0.762775421142578 × 131072)
    floor (99978.5)     		ty = 99978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107907 / 99978 ti = "17/107907/99978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107907/99978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107907 ÷ 217
    107907 ÷ 131072     		x = 0.823265075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99978 ÷ 217
    99978 ÷ 131072     		y = 0.762771606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823265075683594 × 2 - 1) × π
    0.646530151367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.03113437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762771606445312 × 2 - 1) × π
    -0.525543212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65104269671397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03113437} λ = 2.03113437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65104269671397))-π/2
    2×atan(0.191849763175749)-π/2
    2×0.189546652592087-π/2
    0.379093305184174-1.57079632675     		φ = -1.19170302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03113437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.375427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19170302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.279553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107907 KachelY 99978 2.03113437 -1.19170302 116.375427 -68.279553
    Oben rechts KachelX + 1 107908 KachelY 99978 2.03118231 -1.19170302 116.378174 -68.279553
    Unten links KachelX 107907 KachelY + 1 99979 2.03113437 -1.19172076 116.375427 -68.280570
    Unten rechts KachelX + 1 107908 KachelY + 1 99979 2.03118231 -1.19172076 116.378174 -68.280570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19170302--1.19172076) × R
    1.77399999998773e-05 × 6371000     		dl = 113.021539999218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19170302--1.19172076) × R
    1.77399999998773e-05 × 6371000     		dr = 113.021539999218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03113437-2.03118231) × cos(-1.19170302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370078303147984 × 6371000     		do = 113.031439596843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03113437-2.03118231) × cos(-1.19172076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370061822619731 × 6371000     		du = 113.026406019306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19170302)-sin(-1.19172076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370078303147984-0.370061822619731)×R²
    abs(2.03118231-2.03113437)×1.64805282531488e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64805282531488e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64805282531488e-05×40589641000000     		ar = 12774.7029206616m²