Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107903 / 42220
↖ ↑ ↗
← N 53.781181°
E116.364441°		 ← 180.43 m → N 53.781181°
E116.367187°		 →
↑
180.43 m
↓
↑
180.43 m
↓
N 53.779558°
E116.364441°		 ← 180.44 m →
32 555 m²		 N 53.779558°
E116.367187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823238372802734 y=0.322116851806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823238372802734 × 217)
    floor (0.823238372802734 × 131072)
    floor (107903.5)     		tx = 107903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322116851806641 × 217)
    floor (0.322116851806641 × 131072)
    floor (42220.5)     		ty = 42220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107903 / 42220 ti = "17/107903/42220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107903/42220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107903 ÷ 217
    107903 ÷ 131072     		x = 0.823234558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42220 ÷ 217
    42220 ÷ 131072     		y = 0.322113037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823234558105469 × 2 - 1) × π
    0.646469116210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.03094263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322113037109375 × 2 - 1) × π
    0.35577392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11769675154123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03094263} λ = 2.03094263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11769675154123))-π/2
    2×atan(3.05780320578958)-π/2
    2×1.25472750408505-π/2
    2.5094550081701-1.57079632675     		φ = 0.93865868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03094263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.364441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93865868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.781181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107903 KachelY 42220 2.03094263 0.93865868 116.364441 53.781181
    Oben rechts KachelX + 1 107904 KachelY 42220 2.03099056 0.93865868 116.367187 53.781181
    Unten links KachelX 107903 KachelY + 1 42221 2.03094263 0.93863036 116.364441 53.779558
    Unten rechts KachelX + 1 107904 KachelY + 1 42221 2.03099056 0.93863036 116.367187 53.779558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93865868-0.93863036) × R
    2.83199999999706e-05 × 6371000     		dl = 180.426719999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93865868-0.93863036) × R
    2.83199999999706e-05 × 6371000     		dr = 180.426719999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03094263-2.03099056) × cos(0.93865868) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.590870687982191 × 6371000     		do = 180.429472748177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03094263-2.03099056) × cos(0.93863036) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.590893535366283 × 6371000     		du = 180.436449471764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93865868)-sin(0.93863036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590870687982191-0.590893535366283)×R²
    abs(2.03099056-2.03094263)×2.28473840926391e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.28473840926391e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.28473840926391e-05×40589641000000     		ar = 32554.927354984m²