Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107902 / 42190
↖ ↑ ↗
← N 53.829839°
E116.361694°		 ← 180.26 m → N 53.829839°
E116.364441°		 →
↑
180.24 m
↓
↑
180.24 m
↓
N 53.828218°
E116.361694°		 ← 180.26 m →
32 489 m²		 N 53.828218°
E116.364441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823230743408203 y=0.321887969970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823230743408203 × 217)
    floor (0.823230743408203 × 131072)
    floor (107902.5)     		tx = 107902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321887969970703 × 217)
    floor (0.321887969970703 × 131072)
    floor (42190.5)     		ty = 42190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107902 / 42190 ti = "17/107902/42190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107902/42190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107902 ÷ 217
    107902 ÷ 131072     		x = 0.823226928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42190 ÷ 217
    42190 ÷ 131072     		y = 0.321884155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823226928710938 × 2 - 1) × π
    0.646453857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03089469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321884155273438 × 2 - 1) × π
    0.356231689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11913485852983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03089469} λ = 2.03089469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11913485852983))-π/2
    2×atan(3.06220381746637)-π/2
    2×1.2551521252922-π/2
    2.51030425058441-1.57079632675     		φ = 0.93950792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03089469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.361694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93950792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.829839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107902 KachelY 42190 2.03089469 0.93950792 116.361694 53.829839
    Oben rechts KachelX + 1 107903 KachelY 42190 2.03094263 0.93950792 116.364441 53.829839
    Unten links KachelX 107902 KachelY + 1 42191 2.03089469 0.93947963 116.361694 53.828218
    Unten rechts KachelX + 1 107903 KachelY + 1 42191 2.03094263 0.93947963 116.364441 53.828218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93950792-0.93947963) × R
    2.82900000000419e-05 × 6371000     		dl = 180.235590000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93950792-0.93947963) × R
    2.82900000000419e-05 × 6371000     		dr = 180.235590000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03089469-2.03094263) × cos(0.93950792) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.59018533679867 × 6371000     		do = 180.257793230434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03089469-2.03094263) × cos(0.93947963) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.590208174167986 × 6371000     		du = 180.264768350858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93950792)-sin(0.93947963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59018533679867-0.590208174167986)×R²
    abs(2.03094263-2.03089469)×2.28373693164086e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.28373693164086e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.28373693164086e-05×40589641000000     		ar = 32489.4982996181m²