Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1079 / 491
↖ ↑ ↗
← N 82.792991°
W132.583008°		 ← 613.03 m → N 82.792991°
W132.539063°		 →
↑
613.27 m
↓
↑
613.27 m
↓
N 82.787476°
W132.583008°		 ← 613.50 m →
376 099 m²		 N 82.787476°
W132.539063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13177490234375 y=0.05999755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13177490234375 × 213)
    floor (0.13177490234375 × 8192)
    floor (1079.5)     		tx = 1079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.05999755859375 × 213)
    floor (0.05999755859375 × 8192)
    floor (491.5)     		ty = 491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1079 / 491 ti = "13/1079/491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1079/491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1079 ÷ 213
    1079 ÷ 8192     		x = 0.1317138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 491 ÷ 213
    491 ÷ 8192     		y = 0.0599365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1317138671875 × 2 - 1) × π
    -0.736572265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.31401002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0599365234375 × 2 - 1) × π
    0.880126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.76500037008484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31401002} λ = -2.31401002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76500037008484))-π/2
    2×atan(15.8790458672069)-π/2
    2×1.50790330728401-π/2
    3.01580661456802-1.57079632675     		φ = 1.44501029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31401002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.583008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44501029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.792991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1079 KachelY 491 -2.31401002 1.44501029 -132.583008 82.792991
    Oben rechts KachelX + 1 1080 KachelY 491 -2.31324303 1.44501029 -132.539063 82.792991
    Unten links KachelX 1079 KachelY + 1 492 -2.31401002 1.44491403 -132.583008 82.787476
    Unten rechts KachelX + 1 1080 KachelY + 1 492 -2.31324303 1.44491403 -132.539063 82.787476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44501029-1.44491403) × R
    9.62599999998481e-05 × 6371000     		dl = 613.272459999032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44501029-1.44491403) × R
    9.62599999998481e-05 × 6371000     		dr = 613.272459999032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31401002--2.31324303) × cos(1.44501029) × R
    0.000766989999999801 × 0.12545459866379 × 6371000     		do = 613.033054570093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31401002--2.31324303) × cos(1.44491403) × R
    0.000766989999999801 × 0.125550097566978 × 6371000     		du = 613.499709319725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44501029)-sin(1.44491403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12545459866379-0.125550097566978)×R²
    abs(-2.31324303--2.31401002)×9.54989031883569e-05×R²
    0.000766989999999801×9.54989031883569e-05×6371000²
    0.000766989999999801×9.54989031883569e-05×40589641000000     		ar = 376099.382979852m²