Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1079 / 309
↖ ↑ ↗
← N 82.057894°
W 85.166015°		 ← 1 350.36 m → N 82.057894°
W 85.078125°		 →
↑
1 351.42 m
↓
↑
1 351.42 m
↓
N 82.045740°
W 85.166015°		 ← 1 352.41 m →
1 826 282 m²		 N 82.045740°
W 85.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2635498046875 y=0.0755615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2635498046875 × 212)
    floor (0.2635498046875 × 4096)
    floor (1079.5)     		tx = 1079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0755615234375 × 212)
    floor (0.0755615234375 × 4096)
    floor (309.5)     		ty = 309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1079 / 309 ti = "12/1079/309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1079/309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1079 ÷ 212
    1079 ÷ 4096     		x = 0.263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 309 ÷ 212
    309 ÷ 4096     		y = 0.075439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.47314453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.48642738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.075439453125 × 2 - 1) × π
    0.84912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.66759259005688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48642738} λ = -1.48642738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66759259005688))-π/2
    2×atan(14.4052480781374)-π/2
    2×1.5014883715255-π/2
    3.00297674305101-1.57079632675     		φ = 1.43218042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48642738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.166015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43218042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.057894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1079 KachelY 309 -1.48642738 1.43218042 -85.166015 82.057894
    Oben rechts KachelX + 1 1080 KachelY 309 -1.48489340 1.43218042 -85.078125 82.057894
    Unten links KachelX 1079 KachelY + 1 310 -1.48642738 1.43196830 -85.166015 82.045740
    Unten rechts KachelX + 1 1080 KachelY + 1 310 -1.48489340 1.43196830 -85.078125 82.045740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43218042-1.43196830) × R
    0.000212119999999816 × 6371000     		dl = 1351.41651999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43218042-1.43196830) × R
    0.000212119999999816 × 6371000     		dr = 1351.41651999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48642738--1.48489340) × cos(1.43218042) × R
    0.00153398000000005 × 0.138172430187563 × 6371000     		do = 1350.35730594909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48642738--1.48489340) × cos(1.43196830) × R
    0.00153398000000005 × 0.138382512462372 × 6371000     		du = 1352.41043720149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43218042)-sin(1.43196830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138172430187563-0.138382512462372)×R²
    abs(-1.48489340--1.48642738)×0.000210082274808621×R²
    0.00153398000000005×0.000210082274808621×6371000²
    0.00153398000000005×0.000210082274808621×40589641000000     		ar = 1826282.49575516m²