Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107899 / 42092
↖ ↑ ↗
← N 53.988395°
E116.353455°		 ← 179.57 m → N 53.988395°
E116.356201°		 →
↑
179.53 m
↓
↑
179.53 m
↓
N 53.986780°
E116.353455°		 ← 179.58 m →
32 241 m²		 N 53.986780°
E116.356201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823207855224609 y=0.321140289306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823207855224609 × 217)
    floor (0.823207855224609 × 131072)
    floor (107899.5)     		tx = 107899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321140289306641 × 217)
    floor (0.321140289306641 × 131072)
    floor (42092.5)     		ty = 42092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107899 / 42092 ti = "17/107899/42092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107899/42092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107899 ÷ 217
    107899 ÷ 131072     		x = 0.823204040527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42092 ÷ 217
    42092 ÷ 131072     		y = 0.321136474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823204040527344 × 2 - 1) × π
    0.646408081054688 × 3.1415926535     		Λ = 2.03075088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321136474609375 × 2 - 1) × π
    0.35772705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1238326746926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03075088} λ = 2.03075088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1238326746926))-π/2
    2×atan(3.07662333164788)-π/2
    2×1.25653578926211-π/2
    2.51307157852423-1.57079632675     		φ = 0.94227525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03075088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.353455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94227525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.988395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107899 KachelY 42092 2.03075088 0.94227525 116.353455 53.988395
    Oben rechts KachelX + 1 107900 KachelY 42092 2.03079882 0.94227525 116.356201 53.988395
    Unten links KachelX 107899 KachelY + 1 42093 2.03075088 0.94224707 116.353455 53.986780
    Unten rechts KachelX + 1 107900 KachelY + 1 42093 2.03079882 0.94224707 116.356201 53.986780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94227525-0.94224707) × R
    2.81800000000443e-05 × 6371000     		dl = 179.534780000282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94227525-0.94224707) × R
    2.81800000000443e-05 × 6371000     		dr = 179.534780000282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03075088-2.03079882) × cos(0.94227525) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58794910345282 × 6371000     		do = 179.574790004296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03075088-2.03079882) × cos(0.94224707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.587971897962872 × 6371000     		du = 179.581752034397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94227525)-sin(0.94224707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58794910345282-0.587971897962872)×R²
    abs(2.03079882-2.03075088)×2.27945100517157e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27945100517157e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27945100517157e-05×40589641000000     		ar = 32240.5453823381m²