Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107898 / 42090
↖ ↑ ↗
← N 53.991625°
E116.350708°		 ← 179.56 m → N 53.991625°
E116.353455°		 →
↑
179.53 m
↓
↑
179.53 m
↓
N 53.990010°
E116.350708°		 ← 179.57 m →
32 238 m²		 N 53.990010°
E116.353455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823200225830078 y=0.321125030517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823200225830078 × 217)
    floor (0.823200225830078 × 131072)
    floor (107898.5)     		tx = 107898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321125030517578 × 217)
    floor (0.321125030517578 × 131072)
    floor (42090.5)     		ty = 42090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107898 / 42090 ti = "17/107898/42090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107898/42090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107898 ÷ 217
    107898 ÷ 131072     		x = 0.823196411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42090 ÷ 217
    42090 ÷ 131072     		y = 0.321121215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823196411132812 × 2 - 1) × π
    0.646392822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03070294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321121215820312 × 2 - 1) × π
    0.357757568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12392854849184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03070294} λ = 2.03070294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12392854849184))-π/2
    2×atan(3.0769183133558)-π/2
    2×1.25656397262633-π/2
    2.51312794525266-1.57079632675     		φ = 0.94233162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03070294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.350708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94233162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.991625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107898 KachelY 42090 2.03070294 0.94233162 116.350708 53.991625
    Oben rechts KachelX + 1 107899 KachelY 42090 2.03075088 0.94233162 116.353455 53.991625
    Unten links KachelX 107898 KachelY + 1 42091 2.03070294 0.94230344 116.350708 53.990010
    Unten rechts KachelX + 1 107899 KachelY + 1 42091 2.03075088 0.94230344 116.353455 53.990010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94233162-0.94230344) × R
    2.81800000000443e-05 × 6371000     		dl = 179.534780000282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94233162-0.94230344) × R
    2.81800000000443e-05 × 6371000     		dr = 179.534780000282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03070294-2.03075088) × cos(0.94233162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.587903504942731 × 6371000     		do = 179.56086304561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03070294-2.03075088) × cos(0.94230344) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.587926300386726 × 6371000     		du = 179.56782536096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94233162)-sin(0.94230344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587903504942731-0.587926300386726)×R²
    abs(2.03075088-2.03070294)×2.27954439946387e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27954439946387e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27954439946387e-05×40589641000000     		ar = 32238.0450345664m²