Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107898 / 41706
↖ ↑ ↗
← N 54.607074°
E116.350708°		 ← 176.90 m → N 54.607074°
E116.353455°		 →
↑
176.92 m
↓
↑
176.92 m
↓
N 54.605483°
E116.350708°		 ← 176.90 m →
31 298 m²		 N 54.605483°
E116.353455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823200225830078 y=0.318195343017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823200225830078 × 217)
    floor (0.823200225830078 × 131072)
    floor (107898.5)     		tx = 107898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318195343017578 × 217)
    floor (0.318195343017578 × 131072)
    floor (41706.5)     		ty = 41706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107898 / 41706 ti = "17/107898/41706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107898/41706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107898 ÷ 217
    107898 ÷ 131072     		x = 0.823196411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41706 ÷ 217
    41706 ÷ 131072     		y = 0.318191528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823196411132812 × 2 - 1) × π
    0.646392822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03070294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318191528320312 × 2 - 1) × π
    0.363616943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14233631794594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03070294} λ = 2.03070294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14233631794594))-π/2
    2×atan(3.13408203042748)-π/2
    2×1.2619347777449-π/2
    2.52386955548979-1.57079632675     		φ = 0.95307323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03070294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.350708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95307323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.607074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107898 KachelY 41706 2.03070294 0.95307323 116.350708 54.607074
    Oben rechts KachelX + 1 107899 KachelY 41706 2.03075088 0.95307323 116.353455 54.607074
    Unten links KachelX 107898 KachelY + 1 41707 2.03070294 0.95304546 116.350708 54.605483
    Unten rechts KachelX + 1 107899 KachelY + 1 41707 2.03075088 0.95304546 116.353455 54.605483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95307323-0.95304546) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dl = 176.922669999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95307323-0.95304546) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dr = 176.922669999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03070294-2.03075088) × cos(0.95307323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579180533545738 × 6371000     		do = 176.896643051686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03070294-2.03075088) × cos(0.95304546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579203171407156 × 6371000     		du = 176.903557237262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95307323)-sin(0.95304546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579180533545738-0.579203171407156)×R²
    abs(2.03075088-2.03070294)×2.26378614185396e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26378614185396e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26378614185396e-05×40589641000000     		ar = 31297.6380427014m²