Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107898 / 100214
↖ ↑ ↗
← S 68.518179°
E116.350708°		 ← 111.85 m → S 68.518179°
E116.353455°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
S 68.519185°
E116.350708°		 ← 111.84 m →
12 513 m²		 S 68.519185°
E116.353455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823200225830078 y=0.764575958251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823200225830078 × 217)
    floor (0.823200225830078 × 131072)
    floor (107898.5)     		tx = 107898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764575958251953 × 217)
    floor (0.764575958251953 × 131072)
    floor (100214.5)     		ty = 100214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107898 / 100214 ti = "17/107898/100214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107898/100214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107898 ÷ 217
    107898 ÷ 131072     		x = 0.823196411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100214 ÷ 217
    100214 ÷ 131072     		y = 0.764572143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823196411132812 × 2 - 1) × π
    0.646392822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03070294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764572143554688 × 2 - 1) × π
    -0.529144287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66235580502431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03070294} λ = 2.03070294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66235580502431))-π/2
    2×atan(0.189691576941104)-π/2
    2×0.18746425276323-π/2
    0.374928505526459-1.57079632675     		φ = -1.19586782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03070294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.350708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19586782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.518179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107898 KachelY 100214 2.03070294 -1.19586782 116.350708 -68.518179
    Oben rechts KachelX + 1 107899 KachelY 100214 2.03075088 -1.19586782 116.353455 -68.518179
    Unten links KachelX 107898 KachelY + 1 100215 2.03070294 -1.19588538 116.350708 -68.519185
    Unten rechts KachelX + 1 107899 KachelY + 1 100215 2.03075088 -1.19588538 116.353455 -68.519185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19586782--1.19588538) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dl = 111.874760000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19586782--1.19588538) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dr = 111.874760000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03070294-2.03075088) × cos(-1.19586782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36620600317778 × 6371000     		do = 111.848739512943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03070294-2.03075088) × cos(-1.19588538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366189662947695 × 6371000     		du = 111.843748786077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19586782)-sin(-1.19588538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36620600317778-0.366189662947695)×R²
    abs(2.03075088-2.03070294)×1.63402300848436e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63402300848436e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63402300848436e-05×40589641000000     		ar = 12512.7717214894m²