Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107897 / 41707
↖ ↑ ↗
← N 54.605483°
E116.347961°		 ← 176.90 m → N 54.605483°
E116.350708°		 →
↑
176.86 m
↓
↑
176.86 m
↓
N 54.603892°
E116.347961°		 ← 176.91 m →
31 288 m²		 N 54.603892°
E116.350708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823192596435547 y=0.318202972412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823192596435547 × 217)
    floor (0.823192596435547 × 131072)
    floor (107897.5)     		tx = 107897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318202972412109 × 217)
    floor (0.318202972412109 × 131072)
    floor (41707.5)     		ty = 41707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107897 / 41707 ti = "17/107897/41707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107897/41707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107897 ÷ 217
    107897 ÷ 131072     		x = 0.823188781738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41707 ÷ 217
    41707 ÷ 131072     		y = 0.318199157714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823188781738281 × 2 - 1) × π
    0.646377563476562 × 3.1415926535     		Λ = 2.03065500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318199157714844 × 2 - 1) × π
    0.363601684570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.14228838104632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03065500} λ = 2.03065500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14228838104632))-π/2
    2×atan(3.1339317958527)-π/2
    2×1.26192089541408-π/2
    2.52384179082815-1.57079632675     		φ = 0.95304546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03065500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.347961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95304546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.605483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107897 KachelY 41707 2.03065500 0.95304546 116.347961 54.605483
    Oben rechts KachelX + 1 107898 KachelY 41707 2.03070294 0.95304546 116.350708 54.605483
    Unten links KachelX 107897 KachelY + 1 41708 2.03065500 0.95301770 116.347961 54.603892
    Unten rechts KachelX + 1 107898 KachelY + 1 41708 2.03070294 0.95301770 116.350708 54.603892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95304546-0.95301770) × R
    2.77600000000433e-05 × 6371000     		dl = 176.858960000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95304546-0.95301770) × R
    2.77600000000433e-05 × 6371000     		dr = 176.858960000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03065500-2.03070294) × cos(0.95304546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579203171407156 × 6371000     		do = 176.903557237262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03065500-2.03070294) × cos(0.95301770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579225800670238 × 6371000     		du = 176.910468796684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95304546)-sin(0.95301770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579203171407156-0.579225800670238)×R²
    abs(2.03070294-2.03065500)×2.26292630813862e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26292630813862e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26292630813862e-05×40589641000000     		ar = 31287.590340909m²