Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107896 / 42210
↖ ↑ ↗
← N 53.797406°
E116.345215°		 ← 180.36 m → N 53.797406°
E116.347961°		 →
↑
180.36 m
↓
↑
180.36 m
↓
N 53.795784°
E116.345215°		 ← 180.37 m →
32 531 m²		 N 53.795784°
E116.347961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823184967041016 y=0.322040557861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823184967041016 × 217)
    floor (0.823184967041016 × 131072)
    floor (107896.5)     		tx = 107896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322040557861328 × 217)
    floor (0.322040557861328 × 131072)
    floor (42210.5)     		ty = 42210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107896 / 42210 ti = "17/107896/42210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107896/42210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107896 ÷ 217
    107896 ÷ 131072     		x = 0.82318115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42210 ÷ 217
    42210 ÷ 131072     		y = 0.322036743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82318115234375 × 2 - 1) × π
    0.6463623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03060707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322036743164062 × 2 - 1) × π
    0.355926513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11817612053743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03060707} λ = 2.03060707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11817612053743))-π/2
    2×atan(3.05926937323245)-π/2
    2×1.25486909924525-π/2
    2.5097381984905-1.57079632675     		φ = 0.93894187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03060707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.345215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93894187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.797406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107896 KachelY 42210 2.03060707 0.93894187 116.345215 53.797406
    Oben rechts KachelX + 1 107897 KachelY 42210 2.03065500 0.93894187 116.347961 53.797406
    Unten links KachelX 107896 KachelY + 1 42211 2.03060707 0.93891356 116.345215 53.795784
    Unten rechts KachelX + 1 107897 KachelY + 1 42211 2.03065500 0.93891356 116.347961 53.795784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93894187-0.93891356) × R
    2.83099999999203e-05 × 6371000     		dl = 180.363009999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93894187-0.93891356) × R
    2.83099999999203e-05 × 6371000     		dr = 180.363009999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03060707-2.03065500) × cos(0.93894187) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.590642196149589 × 6371000     		do = 180.359700020007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03060707-2.03065500) × cos(0.93891356) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.590665040202437 × 6371000     		du = 180.366675726358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93894187)-sin(0.93891356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590642196149589-0.590665040202437)×R²
    abs(2.03065500-2.03060707)×2.28440528474705e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28440528474705e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28440528474705e-05×40589641000000     		ar = 32530.8474600353m²