Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107895 / 42207
↖ ↑ ↗
← N 53.802273°
E116.342468°		 ← 180.38 m → N 53.802273°
E116.345215°		 →
↑
180.36 m
↓
↑
180.36 m
↓
N 53.800651°
E116.342468°		 ← 180.38 m →
32 534 m²		 N 53.800651°
E116.345215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823177337646484 y=0.322017669677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823177337646484 × 217)
    floor (0.823177337646484 × 131072)
    floor (107895.5)     		tx = 107895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322017669677734 × 217)
    floor (0.322017669677734 × 131072)
    floor (42207.5)     		ty = 42207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107895 / 42207 ti = "17/107895/42207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107895/42207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107895 ÷ 217
    107895 ÷ 131072     		x = 0.823173522949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42207 ÷ 217
    42207 ÷ 131072     		y = 0.322013854980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823173522949219 × 2 - 1) × π
    0.646347045898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.03055913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322013854980469 × 2 - 1) × π
    0.355972290039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.11831993123629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03055913} λ = 2.03055913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11831993123629))-π/2
    2×atan(3.0597093605357)-π/2
    2×1.25491156711445-π/2
    2.5098231342289-1.57079632675     		φ = 0.93902681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03055913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.342468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93902681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.802273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107895 KachelY 42207 2.03055913 0.93902681 116.342468 53.802273
    Oben rechts KachelX + 1 107896 KachelY 42207 2.03060707 0.93902681 116.345215 53.802273
    Unten links KachelX 107895 KachelY + 1 42208 2.03055913 0.93899850 116.342468 53.800651
    Unten rechts KachelX + 1 107896 KachelY + 1 42208 2.03060707 0.93899850 116.345215 53.800651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93902681-0.93899850) × R
    2.83100000000314e-05 × 6371000     		dl = 180.3630100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93902681-0.93899850) × R
    2.83100000000314e-05 × 6371000     		dr = 180.3630100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03055913-2.03060707) × cos(0.93902681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59057365308104 × 6371000     		do = 180.376395016662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03055913-2.03060707) × cos(0.93899850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590596498554121 × 6371000     		du = 180.383372612183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93902681)-sin(0.93899850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59057365308104-0.590596498554121)×R²
    abs(2.03060707-2.03055913)×2.28454730811789e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28454730811789e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28454730811789e-05×40589641000000     		ar = 32533.8587905085m²