Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107894 / 42101
↖ ↑ ↗
← N 53.973859°
E116.339721°		 ← 179.64 m → N 53.973859°
E116.342468°		 →
↑
179.66 m
↓
↑
179.66 m
↓
N 53.972243°
E116.339721°		 ← 179.64 m →
32 275 m²		 N 53.972243°
E116.342468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823169708251953 y=0.321208953857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823169708251953 × 217)
    floor (0.823169708251953 × 131072)
    floor (107894.5)     		tx = 107894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321208953857422 × 217)
    floor (0.321208953857422 × 131072)
    floor (42101.5)     		ty = 42101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107894 / 42101 ti = "17/107894/42101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107894/42101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107894 ÷ 217
    107894 ÷ 131072     		x = 0.823165893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42101 ÷ 217
    42101 ÷ 131072     		y = 0.321205139160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823165893554688 × 2 - 1) × π
    0.646331787109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03051119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321205139160156 × 2 - 1) × π
    0.357589721679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.12340124259602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03051119} λ = 2.03051119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12340124259602))-π/2
    2×atan(3.07529626388392)-π/2
    2×1.25640893707315-π/2
    2.51281787414629-1.57079632675     		φ = 0.94202155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03051119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.339721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94202155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.973859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107894 KachelY 42101 2.03051119 0.94202155 116.339721 53.973859
    Oben rechts KachelX + 1 107895 KachelY 42101 2.03055913 0.94202155 116.342468 53.973859
    Unten links KachelX 107894 KachelY + 1 42102 2.03051119 0.94199335 116.339721 53.972243
    Unten rechts KachelX + 1 107895 KachelY + 1 42102 2.03055913 0.94199335 116.342468 53.972243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94202155-0.94199335) × R
    2.82000000000338e-05 × 6371000     		dl = 179.662200000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94202155-0.94199335) × R
    2.82000000000338e-05 × 6371000     		dr = 179.662200000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03051119-2.03055913) × cos(0.94202155) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588154301932697 × 6371000     		do = 179.63746290186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03051119-2.03055913) × cos(0.94199335) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588177108413173 × 6371000     		du = 179.644428588036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94202155)-sin(0.94199335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588154301932697-0.588177108413173)×R²
    abs(2.03055913-2.03051119)×2.2806480475257e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2806480475257e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2806480475257e-05×40589641000000     		ar = 32274.6875246487m²