Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107893 / 42225
↖ ↑ ↗
← N 53.773066°
E116.336975°		 ← 180.46 m → N 53.773066°
E116.339721°		 →
↑
180.55 m
↓
↑
180.55 m
↓
N 53.771442°
E116.336975°		 ← 180.47 m →
32 584 m²		 N 53.771442°
E116.339721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823162078857422 y=0.322154998779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823162078857422 × 217)
    floor (0.823162078857422 × 131072)
    floor (107893.5)     		tx = 107893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322154998779297 × 217)
    floor (0.322154998779297 × 131072)
    floor (42225.5)     		ty = 42225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107893 / 42225 ti = "17/107893/42225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107893/42225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107893 ÷ 217
    107893 ÷ 131072     		x = 0.823158264160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42225 ÷ 217
    42225 ÷ 131072     		y = 0.322151184082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823158264160156 × 2 - 1) × π
    0.646316528320312 × 3.1415926535     		Λ = 2.03046326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322151184082031 × 2 - 1) × π
    0.355697631835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.11745706704313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03046326} λ = 2.03046326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11745706704313))-π/2
    2×atan(3.05707038558924)-π/2
    2×1.25465668596647-π/2
    2.50931337193294-1.57079632675     		φ = 0.93851705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03046326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.336975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93851705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.773066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107893 KachelY 42225 2.03046326 0.93851705 116.336975 53.773066
    Oben rechts KachelX + 1 107894 KachelY 42225 2.03051119 0.93851705 116.339721 53.773066
    Unten links KachelX 107893 KachelY + 1 42226 2.03046326 0.93848871 116.336975 53.771442
    Unten rechts KachelX + 1 107894 KachelY + 1 42226 2.03051119 0.93848871 116.339721 53.771442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93851705-0.93848871) × R
    2.83399999999601e-05 × 6371000     		dl = 180.554139999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93851705-0.93848871) × R
    2.83399999999601e-05 × 6371000     		dr = 180.554139999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03046326-2.03051119) × cos(0.93851705) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59098494436385 × 6371000     		do = 180.464362310493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03046326-2.03051119) × cos(0.93848871) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.591007805511025 × 6371000     		du = 180.471343236802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93851705)-sin(0.93848871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59098494436385-0.591007805511025)×R²
    abs(2.03051119-2.03046326)×2.28611471749796e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28611471749796e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28611471749796e-05×40589641000000     		ar = 32584.2179572155m²