Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107891 / 41727
↖ ↑ ↗
← N 54.573654°
E116.331482°		 ← 177.04 m → N 54.573654°
E116.334228°		 →
↑
176.99 m
↓
↑
176.99 m
↓
N 54.572062°
E116.331482°		 ← 177.05 m →
31 335 m²		 N 54.572062°
E116.334228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823146820068359 y=0.318355560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823146820068359 × 217)
    floor (0.823146820068359 × 131072)
    floor (107891.5)     		tx = 107891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318355560302734 × 217)
    floor (0.318355560302734 × 131072)
    floor (41727.5)     		ty = 41727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107891 / 41727 ti = "17/107891/41727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107891/41727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107891 ÷ 217
    107891 ÷ 131072     		x = 0.823143005371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41727 ÷ 217
    41727 ÷ 131072     		y = 0.318351745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823143005371094 × 2 - 1) × π
    0.646286010742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.03036738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318351745605469 × 2 - 1) × π
    0.363296508789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.14132964305392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03036738} λ = 2.03036738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14132964305392))-π/2
    2×atan(3.13092861623566)-π/2
    2×1.26164313485971-π/2
    2.52328626971943-1.57079632675     		φ = 0.95248994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03036738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.331482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95248994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.573654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107891 KachelY 41727 2.03036738 0.95248994 116.331482 54.573654
    Oben rechts KachelX + 1 107892 KachelY 41727 2.03041532 0.95248994 116.334228 54.573654
    Unten links KachelX 107891 KachelY + 1 41728 2.03036738 0.95246216 116.331482 54.572062
    Unten rechts KachelX + 1 107892 KachelY + 1 41728 2.03041532 0.95246216 116.334228 54.572062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95248994-0.95246216) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dl = 176.986380000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95248994-0.95246216) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dr = 176.986380000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03036738-2.03041532) × cos(0.95248994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579655932595861 × 6371000     		do = 177.041842158365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03036738-2.03041532) × cos(0.95246216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579678569220153 × 6371000     		du = 177.04875596609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95248994)-sin(0.95246216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579655932595861-0.579678569220153)×R²
    abs(2.03041532-2.03036738)×2.26366242921383e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26366242921383e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26366242921383e-05×40589641000000     		ar = 31334.6065792327m²