Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107889 / 99951
↖ ↑ ↗
← S 68.252093°
E116.325989°		 ← 113.17 m → S 68.252093°
E116.328736°		 →
↑
113.15 m
↓
↑
113.15 m
↓
S 68.253110°
E116.325989°		 ← 113.16 m →
12 804 m²		 S 68.253110°
E116.328736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823131561279297 y=0.762569427490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823131561279297 × 217)
    floor (0.823131561279297 × 131072)
    floor (107889.5)     		tx = 107889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762569427490234 × 217)
    floor (0.762569427490234 × 131072)
    floor (99951.5)     		ty = 99951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107889 / 99951 ti = "17/107889/99951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107889/99951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107889 ÷ 217
    107889 ÷ 131072     		x = 0.823127746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99951 ÷ 217
    99951 ÷ 131072     		y = 0.762565612792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823127746582031 × 2 - 1) × π
    0.646255493164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.03027151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762565612792969 × 2 - 1) × π
    -0.525131225585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.64974840042423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03027151} λ = 2.03027151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64974840042423))-π/2
    2×atan(0.192098234375404)-π/2
    2×0.189786292111937-π/2
    0.379572584223873-1.57079632675     		φ = -1.19122374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03027151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.325989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19122374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.252093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107889 KachelY 99951 2.03027151 -1.19122374 116.325989 -68.252093
    Oben rechts KachelX + 1 107890 KachelY 99951 2.03031945 -1.19122374 116.328736 -68.252093
    Unten links KachelX 107889 KachelY + 1 99952 2.03027151 -1.19124150 116.325989 -68.253110
    Unten rechts KachelX + 1 107890 KachelY + 1 99952 2.03031945 -1.19124150 116.328736 -68.253110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19122374--1.19124150) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dl = 113.148959999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19122374--1.19124150) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dr = 113.148959999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03027151-2.03031945) × cos(-1.19122374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370523512016455 × 6371000     		do = 113.16741784495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03027151-2.03031945) × cos(-1.19124150) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370507016059995 × 6371000     		du = 113.162379555242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19122374)-sin(-1.19124150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370523512016455-0.370507016059995)×R²
    abs(2.03031945-2.03027151)×1.6495956459972e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6495956459972e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6495956459972e-05×40589641000000     		ar = 12804.4905967135m²