Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107889 / 43091
↖ ↑ ↗
← N 52.343729°
E116.325989°		 ← 186.59 m → N 52.343729°
E116.328736°		 →
↑
186.54 m
↓
↑
186.54 m
↓
N 52.342052°
E116.325989°		 ← 186.60 m →
34 808 m²		 N 52.342052°
E116.328736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823131561279297 y=0.328762054443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823131561279297 × 217)
    floor (0.823131561279297 × 131072)
    floor (107889.5)     		tx = 107889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328762054443359 × 217)
    floor (0.328762054443359 × 131072)
    floor (43091.5)     		ty = 43091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107889 / 43091 ti = "17/107889/43091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107889/43091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107889 ÷ 217
    107889 ÷ 131072     		x = 0.823127746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43091 ÷ 217
    43091 ÷ 131072     		y = 0.328758239746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823127746582031 × 2 - 1) × π
    0.646255493164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.03027151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328758239746094 × 2 - 1) × π
    0.342483520507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.07594371197216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03027151} λ = 2.03027151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07594371197216))-π/2
    2×atan(2.93275927503734)-π/2
    2×1.24218337569462-π/2
    2.48436675138924-1.57079632675     		φ = 0.91357042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03027151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.325989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91357042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.343729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107889 KachelY 43091 2.03027151 0.91357042 116.325989 52.343729
    Oben rechts KachelX + 1 107890 KachelY 43091 2.03031945 0.91357042 116.328736 52.343729
    Unten links KachelX 107889 KachelY + 1 43092 2.03027151 0.91354114 116.325989 52.342052
    Unten rechts KachelX + 1 107890 KachelY + 1 43092 2.03031945 0.91354114 116.328736 52.342052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91357042-0.91354114) × R
    2.92800000000204e-05 × 6371000     		dl = 186.54288000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91357042-0.91354114) × R
    2.92800000000204e-05 × 6371000     		dr = 186.54288000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03027151-2.03031945) × cos(0.91357042) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610922983555384 × 6371000     		do = 186.591604335289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03027151-2.03031945) × cos(0.91354114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610946163977666 × 6371000     		du = 186.598684232918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91357042)-sin(0.91354114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610922983555384-0.610946163977666)×R²
    abs(2.03031945-2.03027151)×2.31804222816656e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31804222816656e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31804222816656e-05×40589641000000     		ar = 34807.9956114202m²