Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107884 / 42222
↖ ↑ ↗
← N 53.777935°
E116.312256°		 ← 180.44 m → N 53.777935°
E116.315002°		 →
↑
180.49 m
↓
↑
180.49 m
↓
N 53.776312°
E116.312256°		 ← 180.45 m →
32 569 m²		 N 53.776312°
E116.315002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823093414306641 y=0.322132110595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823093414306641 × 217)
    floor (0.823093414306641 × 131072)
    floor (107884.5)     		tx = 107884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322132110595703 × 217)
    floor (0.322132110595703 × 131072)
    floor (42222.5)     		ty = 42222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107884 / 42222 ti = "17/107884/42222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107884/42222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107884 ÷ 217
    107884 ÷ 131072     		x = 0.823089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42222 ÷ 217
    42222 ÷ 131072     		y = 0.322128295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823089599609375 × 2 - 1) × π
    0.64617919921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03003183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322128295898438 × 2 - 1) × π
    0.355743408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11760087774199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03003183} λ = 2.03003183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11760087774199))-π/2
    2×atan(3.0575100566318)-π/2
    2×1.25469917848081-π/2
    2.50939835696163-1.57079632675     		φ = 0.93860203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03003183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.312256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93860203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.777935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107884 KachelY 42222 2.03003183 0.93860203 116.312256 53.777935
    Oben rechts KachelX + 1 107885 KachelY 42222 2.03007976 0.93860203 116.315002 53.777935
    Unten links KachelX 107884 KachelY + 1 42223 2.03003183 0.93857370 116.312256 53.776312
    Unten rechts KachelX + 1 107885 KachelY + 1 42223 2.03007976 0.93857370 116.315002 53.776312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93860203-0.93857370) × R
    2.83300000000208e-05 × 6371000     		dl = 180.490430000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93860203-0.93857370) × R
    2.83300000000208e-05 × 6371000     		dr = 180.490430000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03003183-2.03007976) × cos(0.93860203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.590916390343794 × 6371000     		do = 180.443428515764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03003183-2.03007976) × cos(0.93857370) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.590939244847042 × 6371000     		du = 180.45040741327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93860203)-sin(0.93857370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590916390343794-0.590939244847042)×R²
    abs(2.03007976-2.03003183)×2.28545032480154e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28545032480154e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28545032480154e-05×40589641000000     		ar = 32568.9418176519m²