Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107883 / 42187
↖ ↑ ↗
← N 53.834701°
E116.309509°		 ← 180.24 m → N 53.834701°
E116.312256°		 →
↑
180.24 m
↓
↑
180.24 m
↓
N 53.833080°
E116.309509°		 ← 180.24 m →
32 486 m²		 N 53.833080°
E116.312256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823085784912109 y=0.321865081787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823085784912109 × 217)
    floor (0.823085784912109 × 131072)
    floor (107883.5)     		tx = 107883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321865081787109 × 217)
    floor (0.321865081787109 × 131072)
    floor (42187.5)     		ty = 42187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107883 / 42187 ti = "17/107883/42187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107883/42187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107883 ÷ 217
    107883 ÷ 131072     		x = 0.823081970214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42187 ÷ 217
    42187 ÷ 131072     		y = 0.321861267089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823081970214844 × 2 - 1) × π
    0.646163940429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.02998389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321861267089844 × 2 - 1) × π
    0.356277465820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.11927866922869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02998389} λ = 2.02998389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11927866922869))-π/2
    2×atan(3.06264422680444)-π/2
    2×1.25519456031154-π/2
    2.51038912062307-1.57079632675     		φ = 0.93959279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02998389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.309509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93959279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.834701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107883 KachelY 42187 2.02998389 0.93959279 116.309509 53.834701
    Oben rechts KachelX + 1 107884 KachelY 42187 2.03003183 0.93959279 116.312256 53.834701
    Unten links KachelX 107883 KachelY + 1 42188 2.02998389 0.93956450 116.309509 53.833080
    Unten rechts KachelX + 1 107884 KachelY + 1 42188 2.03003183 0.93956450 116.312256 53.833080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93959279-0.93956450) × R
    2.82899999999309e-05 × 6371000     		dl = 180.23558999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93959279-0.93956450) × R
    2.82899999999309e-05 × 6371000     		dr = 180.23558999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02998389-2.03003183) × cos(0.93959279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590116821856756 × 6371000     		do = 180.23686700193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02998389-2.03003183) × cos(0.93956450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590139660643036 × 6371000     		du = 180.24384255513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93959279)-sin(0.93956450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590116821856756-0.590139660643036)×R²
    abs(2.03003183-2.02998389)×2.28387862800661e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28387862800661e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28387862800661e-05×40589641000000     		ar = 32485.7266874902m²