Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107882 / 42212
↖ ↑ ↗
← N 53.794162°
E116.306763°		 ← 180.41 m → N 53.794162°
E116.309509°		 →
↑
180.36 m
↓
↑
180.36 m
↓
N 53.792540°
E116.306763°		 ← 180.42 m →
32 540 m²		 N 53.792540°
E116.309509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823078155517578 y=0.322055816650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823078155517578 × 217)
    floor (0.823078155517578 × 131072)
    floor (107882.5)     		tx = 107882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322055816650391 × 217)
    floor (0.322055816650391 × 131072)
    floor (42212.5)     		ty = 42212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107882 / 42212 ti = "17/107882/42212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107882/42212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107882 ÷ 217
    107882 ÷ 131072     		x = 0.823074340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42212 ÷ 217
    42212 ÷ 131072     		y = 0.322052001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823074340820312 × 2 - 1) × π
    0.646148681640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02993595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322052001953125 × 2 - 1) × π
    0.35589599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11808024673819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02993595} λ = 2.02993595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11808024673819))-π/2
    2×atan(3.05897608351436)-π/2
    2×1.25484078459441-π/2
    2.50968156918883-1.57079632675     		φ = 0.93888524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02993595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.306763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93888524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.794162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107882 KachelY 42212 2.02993595 0.93888524 116.306763 53.794162
    Oben rechts KachelX + 1 107883 KachelY 42212 2.02998389 0.93888524 116.309509 53.794162
    Unten links KachelX 107882 KachelY + 1 42213 2.02993595 0.93885693 116.306763 53.792540
    Unten rechts KachelX + 1 107883 KachelY + 1 42213 2.02998389 0.93885693 116.309509 53.792540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93888524-0.93885693) × R
    2.83099999999203e-05 × 6371000     		dl = 180.363009999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93888524-0.93885693) × R
    2.83099999999203e-05 × 6371000     		dr = 180.363009999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02993595-2.02998389) × cos(0.93888524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590687891850894 × 6371000     		do = 180.411286477481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02993595-2.02998389) × cos(0.93885693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590710734956771 × 6371000     		du = 180.418263349997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93888524)-sin(0.93885693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590687891850894-0.590710734956771)×R²
    abs(2.02998389-2.02993595)×2.28431058777456e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28431058777456e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28431058777456e-05×40589641000000     		ar = 32540.1518538866m²