Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107881 / 42228
↖ ↑ ↗
← N 53.768196°
E116.304016°		 ← 180.52 m → N 53.768196°
E116.306763°		 →
↑
180.49 m
↓
↑
180.49 m
↓
N 53.766573°
E116.304016°		 ← 180.53 m →
32 583 m²		 N 53.766573°
E116.306763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823070526123047 y=0.322177886962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823070526123047 × 217)
    floor (0.823070526123047 × 131072)
    floor (107881.5)     		tx = 107881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322177886962891 × 217)
    floor (0.322177886962891 × 131072)
    floor (42228.5)     		ty = 42228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107881 / 42228 ti = "17/107881/42228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107881/42228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107881 ÷ 217
    107881 ÷ 131072     		x = 0.823066711425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42228 ÷ 217
    42228 ÷ 131072     		y = 0.322174072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823066711425781 × 2 - 1) × π
    0.646133422851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.02988801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322174072265625 × 2 - 1) × π
    0.35565185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11731325634427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02988801} λ = 2.02988801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11731325634427))-π/2
    2×atan(3.05663077777153)-π/2
    2×1.2546141885223-π/2
    2.50922837704459-1.57079632675     		φ = 0.93843205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02988801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.304016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93843205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.768196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107881 KachelY 42228 2.02988801 0.93843205 116.304016 53.768196
    Oben rechts KachelX + 1 107882 KachelY 42228 2.02993595 0.93843205 116.306763 53.768196
    Unten links KachelX 107881 KachelY + 1 42229 2.02988801 0.93840372 116.304016 53.766573
    Unten rechts KachelX + 1 107882 KachelY + 1 42229 2.02993595 0.93840372 116.306763 53.766573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93843205-0.93840372) × R
    2.83299999999098e-05 × 6371000     		dl = 180.490429999425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93843205-0.93840372) × R
    2.83299999999098e-05 × 6371000     		dr = 180.490429999425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02988801-2.02993595) × cos(0.93843205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591053510248696 × 6371000     		do = 180.522955747187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02988801-2.02993595) × cos(0.93840372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591076361905981 × 6371000     		du = 180.529935231524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93843205)-sin(0.93840372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591053510248696-0.591076361905981)×R²
    abs(2.02993595-2.02988801)×2.28516572851056e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28516572851056e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28516572851056e-05×40589641000000     		ar = 32583.2957749542m²