Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107880 / 41689
↖ ↑ ↗
← N 54.634108°
E116.301270°		 ← 176.74 m → N 54.634108°
E116.304016°		 →
↑
176.73 m
↓
↑
176.73 m
↓
N 54.632518°
E116.301270°		 ← 176.75 m →
31 237 m²		 N 54.632518°
E116.304016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823062896728516 y=0.318065643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823062896728516 × 217)
    floor (0.823062896728516 × 131072)
    floor (107880.5)     		tx = 107880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318065643310547 × 217)
    floor (0.318065643310547 × 131072)
    floor (41689.5)     		ty = 41689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107880 / 41689 ti = "17/107880/41689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107880/41689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107880 ÷ 217
    107880 ÷ 131072     		x = 0.82305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41689 ÷ 217
    41689 ÷ 131072     		y = 0.318061828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82305908203125 × 2 - 1) × π
    0.6461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02984008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318061828613281 × 2 - 1) × π
    0.363876342773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.14315124523948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02984008} λ = 2.02984008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14315124523948))-π/2
    2×atan(3.13663712037913)-π/2
    2×1.2621706943772-π/2
    2.5243413887544-1.57079632675     		φ = 0.95354506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02984008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.301270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95354506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.634108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107880 KachelY 41689 2.02984008 0.95354506 116.301270 54.634108
    Oben rechts KachelX + 1 107881 KachelY 41689 2.02988801 0.95354506 116.304016 54.634108
    Unten links KachelX 107880 KachelY + 1 41690 2.02984008 0.95351732 116.301270 54.632518
    Unten rechts KachelX + 1 107881 KachelY + 1 41690 2.02988801 0.95351732 116.304016 54.632518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95354506-0.95351732) × R
    2.77400000000538e-05 × 6371000     		dl = 176.731540000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95354506-0.95351732) × R
    2.77400000000538e-05 × 6371000     		dr = 176.731540000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02984008-2.02988801) × cos(0.95354506) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578795833601541 × 6371000     		do = 176.742270704217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02984008-2.02988801) × cos(0.95351732) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578818454585735 × 6371000     		du = 176.749178293871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95354506)-sin(0.95351732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578795833601541-0.578818454585735)×R²
    abs(2.02988801-2.02984008)×2.26209841939218e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26209841939218e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26209841939218e-05×40589641000000     		ar = 31236.5440813495m²