Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107879 / 42074
↖ ↑ ↗
← N 54.017452°
E116.298523°		 ← 179.45 m → N 54.017452°
E116.301270°		 →
↑
179.41 m
↓
↑
179.41 m
↓
N 54.015838°
E116.298523°		 ← 179.46 m →
32 195 m²		 N 54.015838°
E116.301270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823055267333984 y=0.321002960205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823055267333984 × 217)
    floor (0.823055267333984 × 131072)
    floor (107879.5)     		tx = 107879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321002960205078 × 217)
    floor (0.321002960205078 × 131072)
    floor (42074.5)     		ty = 42074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107879 / 42074 ti = "17/107879/42074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107879/42074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107879 ÷ 217
    107879 ÷ 131072     		x = 0.823051452636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42074 ÷ 217
    42074 ÷ 131072     		y = 0.320999145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823051452636719 × 2 - 1) × π
    0.646102905273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.02979214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320999145507812 × 2 - 1) × π
    0.358001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12469553888576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02979214} λ = 2.02979214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12469553888576))-π/2
    2×atan(3.07927918541238)-π/2
    2×1.25678936086216-π/2
    2.51357872172432-1.57079632675     		φ = 0.94278239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02979214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.298523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94278239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.017452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107879 KachelY 42074 2.02979214 0.94278239 116.298523 54.017452
    Oben rechts KachelX + 1 107880 KachelY 42074 2.02984008 0.94278239 116.301270 54.017452
    Unten links KachelX 107879 KachelY + 1 42075 2.02979214 0.94275423 116.298523 54.015838
    Unten rechts KachelX + 1 107880 KachelY + 1 42075 2.02984008 0.94275423 116.301270 54.015838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94278239-0.94275423) × R
    2.81599999999438e-05 × 6371000     		dl = 179.407359999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94278239-0.94275423) × R
    2.81599999999438e-05 × 6371000     		dr = 179.407359999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02979214-2.02984008) × cos(0.94278239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.587538803369532 × 6371000     		do = 179.449473797736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02979214-2.02984008) × cos(0.94275423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.587561590095728 × 6371000     		du = 179.456433450447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94278239)-sin(0.94275423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587538803369532-0.587561590095728)×R²
    abs(2.02984008-2.02979214)×2.27867261953785e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27867261953785e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27867261953785e-05×40589641000000     		ar = 32195.180655891m²