Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107878 / 46377
↖ ↑ ↗
← N 46.481374°
E116.295776°		 ← 210.31 m → N 46.481374°
E116.298523°		 →
↑
210.31 m
↓
↑
210.31 m
↓
N 46.479482°
E116.295776°		 ← 210.32 m →
44 231 m²		 N 46.479482°
E116.298523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823047637939453 y=0.353832244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823047637939453 × 217)
    floor (0.823047637939453 × 131072)
    floor (107878.5)     		tx = 107878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353832244873047 × 217)
    floor (0.353832244873047 × 131072)
    floor (46377.5)     		ty = 46377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107878 / 46377 ti = "17/107878/46377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107878/46377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107878 ÷ 217
    107878 ÷ 131072     		x = 0.823043823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46377 ÷ 217
    46377 ÷ 131072     		y = 0.353828430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823043823242188 × 2 - 1) × π
    0.646087646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02974420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353828430175781 × 2 - 1) × π
    0.292343139648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.918423059820656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02974420} λ = 2.02974420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.918423059820656))-π/2
    2×atan(2.50533650743621)-π/2
    2×1.19102466753188-π/2
    2.38204933506377-1.57079632675     		φ = 0.81125301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02974420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.295776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81125301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.481374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107878 KachelY 46377 2.02974420 0.81125301 116.295776 46.481374
    Oben rechts KachelX + 1 107879 KachelY 46377 2.02979214 0.81125301 116.298523 46.481374
    Unten links KachelX 107878 KachelY + 1 46378 2.02974420 0.81122000 116.295776 46.479482
    Unten rechts KachelX + 1 107879 KachelY + 1 46378 2.02979214 0.81122000 116.298523 46.479482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81125301-0.81122000) × R
    3.301e-05 × 6371000     		dl = 210.30671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81125301-0.81122000) × R
    3.301e-05 × 6371000     		dr = 210.30671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02974420-2.02979214) × cos(0.81125301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.688590352848926 × 6371000     		do = 210.313218075606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02974420-2.02979214) × cos(0.81122000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.688614289693544 × 6371000     		du = 210.320529004087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81125301)-sin(0.81122000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688590352848926-0.688614289693544)×R²
    abs(2.02979214-2.02974420)×2.39368446183219e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39368446183219e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39368446183219e-05×40589641000000     		ar = 44231.0497357415m²