Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107877 / 42227
↖ ↑ ↗
← N 53.769819°
E116.293030°		 ← 180.48 m → N 53.769819°
E116.295776°		 →
↑
180.49 m
↓
↑
180.49 m
↓
N 53.768196°
E116.293030°		 ← 180.49 m →
32 575 m²		 N 53.768196°
E116.295776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823040008544922 y=0.322170257568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823040008544922 × 217)
    floor (0.823040008544922 × 131072)
    floor (107877.5)     		tx = 107877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322170257568359 × 217)
    floor (0.322170257568359 × 131072)
    floor (42227.5)     		ty = 42227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107877 / 42227 ti = "17/107877/42227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107877/42227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107877 ÷ 217
    107877 ÷ 131072     		x = 0.823036193847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42227 ÷ 217
    42227 ÷ 131072     		y = 0.322166442871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823036193847656 × 2 - 1) × π
    0.646072387695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.02969627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322166442871094 × 2 - 1) × π
    0.355667114257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.11736119324389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02969627} λ = 2.02969627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11736119324389))-π/2
    2×atan(3.05677730668635)-π/2
    2×1.2546283548848-π/2
    2.50925670976959-1.57079632675     		φ = 0.93846038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02969627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.293030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93846038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.769819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107877 KachelY 42227 2.02969627 0.93846038 116.293030 53.769819
    Oben rechts KachelX + 1 107878 KachelY 42227 2.02974420 0.93846038 116.295776 53.769819
    Unten links KachelX 107877 KachelY + 1 42228 2.02969627 0.93843205 116.293030 53.768196
    Unten rechts KachelX + 1 107878 KachelY + 1 42228 2.02974420 0.93843205 116.295776 53.768196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93846038-0.93843205) × R
    2.83300000000208e-05 × 6371000     		dl = 180.490430000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93846038-0.93843205) × R
    2.83300000000208e-05 × 6371000     		dr = 180.490430000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02969627-2.02974420) × cos(0.93846038) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.591030658117038 × 6371000     		do = 180.478321554965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02969627-2.02974420) × cos(0.93843205) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.591053510248696 × 6371000     		du = 180.485299728278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93846038)-sin(0.93843205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591030658117038-0.591053510248696)×R²
    abs(2.02974420-2.02969627)×2.2852131658202e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2852131658202e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2852131658202e-05×40589641000000     		ar = 32575.2396119397m²