Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107876 / 99996
↖ ↑ ↗
← S 68.297842°
E116.290283°		 ← 112.94 m → S 68.297842°
E116.293030°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 68.298858°
E116.290283°		 ← 112.94 m →
12 757 m²		 S 68.298858°
E116.293030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823032379150391 y=0.762912750244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823032379150391 × 217)
    floor (0.823032379150391 × 131072)
    floor (107876.5)     		tx = 107876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762912750244141 × 217)
    floor (0.762912750244141 × 131072)
    floor (99996.5)     		ty = 99996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107876 / 99996 ti = "17/107876/99996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107876/99996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107876 ÷ 217
    107876 ÷ 131072     		x = 0.823028564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99996 ÷ 217
    99996 ÷ 131072     		y = 0.762908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823028564453125 × 2 - 1) × π
    0.64605712890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02964833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762908935546875 × 2 - 1) × π
    -0.52581787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65190556090714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02964833} λ = 2.02964833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65190556090714))-π/2
    2×atan(0.191684294283495)-π/2
    2×0.189387052913421-π/2
    0.378774105826842-1.57079632675     		φ = -1.19202222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02964833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.290283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19202222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.297842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107876 KachelY 99996 2.02964833 -1.19202222 116.290283 -68.297842
    Oben rechts KachelX + 1 107877 KachelY 99996 2.02969627 -1.19202222 116.293030 -68.297842
    Unten links KachelX 107876 KachelY + 1 99997 2.02964833 -1.19203995 116.290283 -68.298858
    Unten rechts KachelX + 1 107877 KachelY + 1 99997 2.02969627 -1.19203995 116.293030 -68.298858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19202222--1.19203995) × R
    1.77300000001601e-05 × 6371000     		dl = 112.95783000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19202222--1.19203995) × R
    1.77300000001601e-05 × 6371000     		dr = 112.95783000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02964833-2.02969627) × cos(-1.19202222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369781747319324 × 6371000     		do = 112.940863813424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02964833-2.02969627) × cos(-1.19203995) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369765273987601 × 6371000     		du = 112.935832433892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19202222)-sin(-1.19203995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369781747319324-0.369765273987601)×R²
    abs(2.02969627-2.02964833)×1.64733317234433e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64733317234433e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64733317234433e-05×40589641000000     		ar = 12757.2707284231m²