Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107873 / 42979
↖ ↑ ↗
← N 52.531261°
E116.282044°		 ← 185.80 m → N 52.531261°
E116.284790°		 →
↑
185.78 m
↓
↑
185.78 m
↓
N 52.529590°
E116.282044°		 ← 185.81 m →
34 518 m²		 N 52.529590°
E116.284790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823009490966797 y=0.327907562255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823009490966797 × 217)
    floor (0.823009490966797 × 131072)
    floor (107873.5)     		tx = 107873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327907562255859 × 217)
    floor (0.327907562255859 × 131072)
    floor (42979.5)     		ty = 42979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107873 / 42979 ti = "17/107873/42979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107873/42979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107873 ÷ 217
    107873 ÷ 131072     		x = 0.823005676269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42979 ÷ 217
    42979 ÷ 131072     		y = 0.327903747558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823005676269531 × 2 - 1) × π
    0.646011352539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.02950452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327903747558594 × 2 - 1) × π
    0.344192504882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.08131264472961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02950452} λ = 2.02950452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08131264472961))-π/2
    2×atan(2.9485474071637)-π/2
    2×1.24381989446248-π/2
    2.48763978892497-1.57079632675     		φ = 0.91684346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02950452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.282044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91684346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.531261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107873 KachelY 42979 2.02950452 0.91684346 116.282044 52.531261
    Oben rechts KachelX + 1 107874 KachelY 42979 2.02955246 0.91684346 116.284790 52.531261
    Unten links KachelX 107873 KachelY + 1 42980 2.02950452 0.91681430 116.282044 52.529590
    Unten rechts KachelX + 1 107874 KachelY + 1 42980 2.02955246 0.91681430 116.284790 52.529590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91684346-0.91681430) × R
    2.91600000000836e-05 × 6371000     		dl = 185.778360000532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91684346-0.91681430) × R
    2.91600000000836e-05 × 6371000     		dr = 185.778360000532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02950452-2.02955246) × cos(0.91684346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608328482694566 × 6371000     		do = 185.799176989943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02950452-2.02955246) × cos(0.91681430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608351626301146 × 6371000     		du = 185.806245643109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91684346)-sin(0.91681430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608328482694566-0.608351626301146)×R²
    abs(2.02955246-2.02950452)×2.31436065806223e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31436065806223e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31436065806223e-05×40589641000000     		ar = 34518.1229944774m²