Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107873 / 41697
↖ ↑ ↗
← N 54.621388°
E116.282044°		 ← 176.83 m → N 54.621388°
E116.284790°		 →
↑
176.80 m
↓
↑
176.80 m
↓
N 54.619798°
E116.282044°		 ← 176.84 m →
31 264 m²		 N 54.619798°
E116.284790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823009490966797 y=0.318126678466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823009490966797 × 217)
    floor (0.823009490966797 × 131072)
    floor (107873.5)     		tx = 107873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318126678466797 × 217)
    floor (0.318126678466797 × 131072)
    floor (41697.5)     		ty = 41697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107873 / 41697 ti = "17/107873/41697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107873/41697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107873 ÷ 217
    107873 ÷ 131072     		x = 0.823005676269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41697 ÷ 217
    41697 ÷ 131072     		y = 0.318122863769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823005676269531 × 2 - 1) × π
    0.646011352539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.02950452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318122863769531 × 2 - 1) × π
    0.363754272460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.14276775004252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02950452} λ = 2.02950452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14276775004252))-π/2
    2×atan(3.13543446572974)-π/2
    2×1.26205969431171-π/2
    2.52411938862341-1.57079632675     		φ = 0.95332306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02950452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.282044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95332306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.621388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107873 KachelY 41697 2.02950452 0.95332306 116.282044 54.621388
    Oben rechts KachelX + 1 107874 KachelY 41697 2.02955246 0.95332306 116.284790 54.621388
    Unten links KachelX 107873 KachelY + 1 41698 2.02950452 0.95329531 116.282044 54.619798
    Unten rechts KachelX + 1 107874 KachelY + 1 41698 2.02955246 0.95329531 116.284790 54.619798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95332306-0.95329531) × R
    2.77499999999931e-05 × 6371000     		dl = 176.795249999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95332306-0.95329531) × R
    2.77499999999931e-05 × 6371000     		dr = 176.795249999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02950452-2.02955246) × cos(0.95332306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578976854230291 × 6371000     		do = 176.834434146043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02950452-2.02955246) × cos(0.95329531) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.57899947980275 × 6371000     		du = 176.841344578254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95332306)-sin(0.95329531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578976854230291-0.57899947980275)×R²
    abs(2.02955246-2.02950452)×2.2625572459023e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2625572459023e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2625572459023e-05×40589641000000     		ar = 31264.0988613861m²