Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107872 / 46347
↖ ↑ ↗
← N 46.538082°
E116.279297°		 ← 210.09 m → N 46.538082°
E116.282044°		 →
↑
210.12 m
↓
↑
210.12 m
↓
N 46.536192°
E116.279297°		 ← 210.10 m →
44 145 m²		 N 46.536192°
E116.282044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823001861572266 y=0.353603363037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823001861572266 × 217)
    floor (0.823001861572266 × 131072)
    floor (107872.5)     		tx = 107872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353603363037109 × 217)
    floor (0.353603363037109 × 131072)
    floor (46347.5)     		ty = 46347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107872 / 46347 ti = "17/107872/46347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107872/46347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107872 ÷ 217
    107872 ÷ 131072     		x = 0.822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46347 ÷ 217
    46347 ÷ 131072     		y = 0.353599548339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822998046875 × 2 - 1) × π
    0.64599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02945658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353599548339844 × 2 - 1) × π
    0.292800903320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.919861166809258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02945658} λ = 2.02945658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.919861166809258))-π/2
    2×atan(2.5089420413267)-π/2
    2×1.19151954266763-π/2
    2.38303908533527-1.57079632675     		φ = 0.81224276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02945658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.279297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81224276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.538082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107872 KachelY 46347 2.02945658 0.81224276 116.279297 46.538082
    Oben rechts KachelX + 1 107873 KachelY 46347 2.02950452 0.81224276 116.282044 46.538082
    Unten links KachelX 107872 KachelY + 1 46348 2.02945658 0.81220978 116.279297 46.536192
    Unten rechts KachelX + 1 107873 KachelY + 1 46348 2.02950452 0.81220978 116.282044 46.536192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81224276-0.81220978) × R
    3.29799999999603e-05 × 6371000     		dl = 210.115579999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81224276-0.81220978) × R
    3.29799999999603e-05 × 6371000     		dr = 210.115579999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02945658-2.02950452) × cos(0.81224276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687872297932016 × 6371000     		do = 210.093905621249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02945658-2.02950452) × cos(0.81220978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687896235488408 × 6371000     		du = 210.101216767124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81224276)-sin(0.81220978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687872297932016-0.687896235488408)×R²
    abs(2.02950452-2.02945658)×2.39375563917399e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39375563917399e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39375563917399e-05×40589641000000     		ar = 44144.770930985m²