Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107871 / 41754
↖ ↑ ↗
← N 54.530645°
E116.276551°		 ← 177.19 m → N 54.530645°
E116.279297°		 →
↑
177.24 m
↓
↑
177.24 m
↓
N 54.529051°
E116.276551°		 ← 177.20 m →
31 406 m²		 N 54.529051°
E116.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822994232177734 y=0.318561553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822994232177734 × 217)
    floor (0.822994232177734 × 131072)
    floor (107871.5)     		tx = 107871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318561553955078 × 217)
    floor (0.318561553955078 × 131072)
    floor (41754.5)     		ty = 41754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107871 / 41754 ti = "17/107871/41754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107871/41754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107871 ÷ 217
    107871 ÷ 131072     		x = 0.822990417480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41754 ÷ 217
    41754 ÷ 131072     		y = 0.318557739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822990417480469 × 2 - 1) × π
    0.645980834960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.02940865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318557739257812 × 2 - 1) × π
    0.362884521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14003534676418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02940865} λ = 2.02940865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14003534676418))-π/2
    2×atan(3.1268788882835)-π/2
    2×1.26126781374949-π/2
    2.52253562749897-1.57079632675     		φ = 0.95173930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02940865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.276551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95173930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.530645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107871 KachelY 41754 2.02940865 0.95173930 116.276551 54.530645
    Oben rechts KachelX + 1 107872 KachelY 41754 2.02945658 0.95173930 116.279297 54.530645
    Unten links KachelX 107871 KachelY + 1 41755 2.02940865 0.95171148 116.276551 54.529051
    Unten rechts KachelX + 1 107872 KachelY + 1 41755 2.02945658 0.95171148 116.279297 54.529051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95173930-0.95171148) × R
    2.78199999999007e-05 × 6371000     		dl = 177.241219999367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95173930-0.95171148) × R
    2.78199999999007e-05 × 6371000     		dr = 177.241219999367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02940865-2.02945658) × cos(0.95173930) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.580267436746432 × 6371000     		do = 177.191642427896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02940865-2.02945658) × cos(0.95171148) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.580290093853069 × 6371000     		du = 177.198561047972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95173930)-sin(0.95171148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580267436746432-0.580290093853069)×R²
    abs(2.02945658-2.02940865)×2.26571066370695e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26571066370695e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26571066370695e-05×40589641000000     		ar = 31406.2760118752m²