Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107871 / 41696
↖ ↑ ↗
← N 54.622978°
E116.276551°		 ← 176.79 m → N 54.622978°
E116.279297°		 →
↑
176.86 m
↓
↑
176.86 m
↓
N 54.621388°
E116.276551°		 ← 176.80 m →
31 268 m²		 N 54.621388°
E116.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822994232177734 y=0.318119049072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822994232177734 × 217)
    floor (0.822994232177734 × 131072)
    floor (107871.5)     		tx = 107871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318119049072266 × 217)
    floor (0.318119049072266 × 131072)
    floor (41696.5)     		ty = 41696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107871 / 41696 ti = "17/107871/41696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107871/41696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107871 ÷ 217
    107871 ÷ 131072     		x = 0.822990417480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41696 ÷ 217
    41696 ÷ 131072     		y = 0.318115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822990417480469 × 2 - 1) × π
    0.645980834960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.02940865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318115234375 × 2 - 1) × π
    0.36376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14281568694214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02940865} λ = 2.02940865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14281568694214))-π/2
    2×atan(3.13558477233958)-π/2
    2×1.26207357121815-π/2
    2.5241471424363-1.57079632675     		φ = 0.95335082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02940865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.276551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95335082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.622978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107871 KachelY 41696 2.02940865 0.95335082 116.276551 54.622978
    Oben rechts KachelX + 1 107872 KachelY 41696 2.02945658 0.95335082 116.279297 54.622978
    Unten links KachelX 107871 KachelY + 1 41697 2.02940865 0.95332306 116.276551 54.621388
    Unten rechts KachelX + 1 107872 KachelY + 1 41697 2.02945658 0.95332306 116.279297 54.621388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95335082-0.95332306) × R
    2.77600000000433e-05 × 6371000     		dl = 176.858960000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95335082-0.95332306) × R
    2.77600000000433e-05 × 6371000     		dr = 176.858960000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02940865-2.02945658) × cos(0.95335082) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578954220058383 × 6371000     		do = 176.790635914203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02940865-2.02945658) × cos(0.95332306) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578976854230291 × 6371000     		du = 176.797547530884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95335082)-sin(0.95332306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578954220058383-0.578976854230291)×R²
    abs(2.02945658-2.02940865)×2.26341719079537e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26341719079537e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26341719079537e-05×40589641000000     		ar = 31267.6191981124m²