Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107871 / 100006
↖ ↑ ↗
← S 68.307996°
E116.276551°		 ← 112.87 m → S 68.307996°
E116.279297°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
S 68.309012°
E116.276551°		 ← 112.86 m →
12 742 m²		 S 68.309012°
E116.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822994232177734 y=0.762989044189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822994232177734 × 217)
    floor (0.822994232177734 × 131072)
    floor (107871.5)     		tx = 107871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762989044189453 × 217)
    floor (0.762989044189453 × 131072)
    floor (100006.5)     		ty = 100006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107871 / 100006 ti = "17/107871/100006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107871/100006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107871 ÷ 217
    107871 ÷ 131072     		x = 0.822990417480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100006 ÷ 217
    100006 ÷ 131072     		y = 0.762985229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822990417480469 × 2 - 1) × π
    0.645980834960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.02940865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762985229492188 × 2 - 1) × π
    -0.525970458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65238492990334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02940865} λ = 2.02940865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65238492990334))-π/2
    2×atan(0.19159242879625)-π/2
    2×0.189298441696357-π/2
    0.378596883392715-1.57079632675     		φ = -1.19219944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02940865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.276551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19219944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.307996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107871 KachelY 100006 2.02940865 -1.19219944 116.276551 -68.307996
    Oben rechts KachelX + 1 107872 KachelY 100006 2.02945658 -1.19219944 116.279297 -68.307996
    Unten links KachelX 107871 KachelY + 1 100007 2.02940865 -1.19221716 116.276551 -68.309012
    Unten rechts KachelX + 1 107872 KachelY + 1 100007 2.02945658 -1.19221716 116.279297 -68.309012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19219944--1.19221716) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19219944--1.19221716) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02940865-2.02945658) × cos(-1.19219944) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369617083106792 × 6371000     		do = 112.867022820238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02940865-2.02945658) × cos(-1.19221716) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369600617905365 × 6371000     		du = 112.861994972906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19219944)-sin(-1.19221716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369617083106792-0.369600617905365)×R²
    abs(2.02945658-2.02940865)×1.64652014267297e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64652014267297e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64652014267297e-05×40589641000000     		ar = 12741.7394114904m²