Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107870 / 42981
↖ ↑ ↗
← N 52.527919°
E116.273804°		 ← 185.81 m → N 52.527919°
E116.276551°		 →
↑
185.84 m
↓
↑
185.84 m
↓
N 52.526248°
E116.273804°		 ← 185.82 m →
34 533 m²		 N 52.526248°
E116.276551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822986602783203 y=0.327922821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822986602783203 × 217)
    floor (0.822986602783203 × 131072)
    floor (107870.5)     		tx = 107870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327922821044922 × 217)
    floor (0.327922821044922 × 131072)
    floor (42981.5)     		ty = 42981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107870 / 42981 ti = "17/107870/42981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107870/42981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107870 ÷ 217
    107870 ÷ 131072     		x = 0.822982788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42981 ÷ 217
    42981 ÷ 131072     		y = 0.327919006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822982788085938 × 2 - 1) × π
    0.645965576171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02936071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327919006347656 × 2 - 1) × π
    0.344161987304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.08121677093037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02936071} λ = 2.02936071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08121677093037))-π/2
    2×atan(2.94826473227231)-π/2
    2×1.24379073197165-π/2
    2.48758146394329-1.57079632675     		φ = 0.91678514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02936071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.273804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91678514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.527919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107870 KachelY 42981 2.02936071 0.91678514 116.273804 52.527919
    Oben rechts KachelX + 1 107871 KachelY 42981 2.02940865 0.91678514 116.276551 52.527919
    Unten links KachelX 107870 KachelY + 1 42982 2.02936071 0.91675597 116.273804 52.526248
    Unten rechts KachelX + 1 107871 KachelY + 1 42982 2.02940865 0.91675597 116.276551 52.526248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91678514-0.91675597) × R
    2.91700000000228e-05 × 6371000     		dl = 185.842070000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91678514-0.91675597) × R
    2.91700000000228e-05 × 6371000     		dr = 185.842070000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02936071-2.02940865) × cos(0.91678514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608374769390442 × 6371000     		do = 185.813314138283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02936071-2.02940865) × cos(0.91675597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608397919898755 × 6371000     		du = 185.820384899416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91678514)-sin(0.91675597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608374769390442-0.608397919898755)×R²
    abs(2.02940865-2.02936071)×2.3150508312697e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3150508312697e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3150508312697e-05×40589641000000     		ar = 34532.5879579765m²