Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107870 / 41757
↖ ↑ ↗
← N 54.525864°
E116.273804°		 ← 177.25 m → N 54.525864°
E116.276551°		 →
↑
177.24 m
↓
↑
177.24 m
↓
N 54.524270°
E116.273804°		 ← 177.26 m →
31 417 m²		 N 54.524270°
E116.276551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822986602783203 y=0.318584442138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822986602783203 × 217)
    floor (0.822986602783203 × 131072)
    floor (107870.5)     		tx = 107870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318584442138672 × 217)
    floor (0.318584442138672 × 131072)
    floor (41757.5)     		ty = 41757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107870 / 41757 ti = "17/107870/41757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107870/41757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107870 ÷ 217
    107870 ÷ 131072     		x = 0.822982788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41757 ÷ 217
    41757 ÷ 131072     		y = 0.318580627441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822982788085938 × 2 - 1) × π
    0.645965576171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02936071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318580627441406 × 2 - 1) × π
    0.362838745117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.13989153606532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02936071} λ = 2.02936071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13989153606532))-π/2
    2×atan(3.12642924197807)-π/2
    2×1.26122608697324-π/2
    2.52245217394647-1.57079632675     		φ = 0.95165585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02936071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.273804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95165585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.525864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107870 KachelY 41757 2.02936071 0.95165585 116.273804 54.525864
    Oben rechts KachelX + 1 107871 KachelY 41757 2.02940865 0.95165585 116.276551 54.525864
    Unten links KachelX 107870 KachelY + 1 41758 2.02936071 0.95162803 116.273804 54.524270
    Unten rechts KachelX + 1 107871 KachelY + 1 41758 2.02940865 0.95162803 116.276551 54.524270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95165585-0.95162803) × R
    2.78200000000117e-05 × 6371000     		dl = 177.241220000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95165585-0.95162803) × R
    2.78200000000117e-05 × 6371000     		dr = 177.241220000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02936071-2.02940865) × cos(0.95165585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.5803353985752 × 6371000     		do = 177.249368557909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02936071-2.02940865) × cos(0.95162803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580358054334595 × 6371000     		du = 177.256288209988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95165585)-sin(0.95162803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5803353985752-0.580358054334595)×R²
    abs(2.02940865-2.02936071)×2.2655759395307e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2655759395307e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2655759395307e-05×40589641000000     		ar = 31416.507553148m²